Ch11 — Variables aléatoires · Exercices WIMS
Variable aléatoire réelle
Une variable aléatoire réelle \(X\) associe à chaque issue d’une expérience aléatoire un réel.
Loi de probabilité : tableau donnant \(P(X = x_i)\) pour chaque valeur \(x_i\).
- Les probabilités sont positives et leur somme vaut 1 : \(\displaystyle\sum_i P(X=x_i) = 1\)
- Notation : \(P(X \leq a)\), \(P(X \geq a)\), \(P(a \leq X \leq b)\)
Équiprobabilité : si toutes les issues sont équiprobables, \(P(X = x_i) = \dfrac{\text{nb d'issues favorables}}{\text{nb total d'issues}}\)
Espérance, variance, écart-type
Espérance : \(E(X) = \displaystyle\sum_i x_i \cdot P(X = x_i)\)
Interprétation : valeur moyenne sur un grand nombre de répétitions.
Variance : \(V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \displaystyle\sum_i x_i^2 \cdot P(X=x_i) - [E(X)]^2\)
Écart-type : \(\sigma(X) = \sqrt{V(X)}\)
Propriétés de l’espérance :
- \(E(aX + b) = aE(X) + b\)
- \(E(X + Y) = E(X) + E(Y)\)
- \(V(aX + b) = a^2 V(X)\)
Transformation affine \(Y = aX + b\)
Si \(Y = aX + b\) (avec \(a, b\) réels), alors :
- \(E(aX + b) = a\,E(X) + b\)
- \(V(aX + b) = a^2\,V(X)\)
- \(\sigma(aX + b) = |a|\,\sigma(X)\)
L'ajout de \(b\) décale l'espérance mais ne change pas la dispersion.
Tableaux croisés et probabilités
Un tableau croisé recense les effectifs selon deux caractères. On en déduit des probabilités.
Exemple : tableau avec caractères \(A/\bar{A}\) et \(B/\bar{B}\) :
- \(P(A) = \dfrac{\text{total ligne } A}{\text{effectif total}}\)
- \(P(A \cap B) = \dfrac{\text{effectif de la case } A \text{ et } B}{\text{effectif total}}\)
- \(P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}\) (probabilité conditionnelle)
Indépendance : \(A\) et \(B\) indépendants \(\iff P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\)