Chapitre 11 – Variables aléatoires

Loi de probabilité · Espérance · Variance et écart-type · Transformation affine \(aX+b\)

Groupe 1 — Loi de probabilité et espérance ▾
1
On lance un dé équilibré à 6 faces. \(X\) vaut 2 si on obtient un 6, vaut 1 si on obtient 4 ou 5, et vaut 0 sinon.
a. Compléter le tableau de la loi de \(X\) et vérifier que la somme des probabilités vaut 1.
b. Calculer \(E(X)\).
loi de probabilitéespérance
a.
\(x_i\)012
\(p_i\)\(\dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}\)\(\dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\)\(\dfrac{1}{6}\)
Somme : \(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{3+2+1}{6} = 1\) ✓
b. \(E(X) = 0 \times \dfrac{1}{2} + 1 \times \dfrac{1}{3} + 2 \times \dfrac{1}{6} = 0 + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3} \approx 0{,}67\).
2
Un jeu coûte 1 € la mise. Un joueur tire une carte dans un jeu de 52 (13 cœurs, 13 carreaux, 13 trèfles, 13 piques). Il gagne 5 € si c’est un cœur, 2 € si c’est un carreau, et rien sinon. Soit \(G\) le gain net (gains moins mise).
Construire la loi de \(G\), puis calculer \(E(G)\). Le jeu est-il favorable au joueur ?
espérancegain net
Gains bruts : 5 € (cœur, prob. \(\frac{1}{4}\)), 2 € (carreau, prob. \(\frac{1}{4}\)), 0 € (autre, prob. \(\frac{1}{2}\)). Gain net \(G = \) gain brut \(-1\).
\(g\)41−1
\(P(G=g)\)\(\frac{1}{4}\)\(\frac{1}{4}\)\(\frac{1}{2}\)
\(E(G) = 4 \times \dfrac{1}{4} + 1 \times \dfrac{1}{4} + (-1) \times \dfrac{1}{2} = 1 + 0{,}25 - 0{,}5 = 0{,}75\) €.
\(E(G) > 0\) → le jeu est favorable au joueur.
3
\(X\) est une variable aléatoire dont la loi est donnée par le tableau :
\(x_i\)−2035
\(p_i\)0,1\(a\)0,40,2
a. Trouver \(a\).
b. Calculer \(E(X)\), \(V(X)\) et \(\sigma(X)\).
loivarianceécart-type
a. \(0{,}1 + a + 0{,}4 + 0{,}2 = 1 \Rightarrow a = 0{,}3\).
b. \(E(X) = (-2)(0{,}1) + 0(0{,}3) + 3(0{,}4) + 5(0{,}2) = -0{,}2 + 0 + 1{,}2 + 1 = 2\).
\(E(X^2) = 4(0{,}1) + 0(0{,}3) + 9(0{,}4) + 25(0{,}2) = 0{,}4 + 3{,}6 + 5 = 9\).
\(V(X) = 9 - 4 = 5\). \(\sigma(X) = \sqrt{5} \approx 2{,}24\).
Groupe 2 — Variance et écart-type ▾
4
Une roue de loterie fait gagner une somme \(X\) (en €) selon la loi suivante :
\(x_i\)051050
\(p_i\)0,50,30,150,05
Calculer \(E(X)\), \(V(X)\) et \(\sigma(X)\) (arrondir l'écart-type à \(10^{-2}\)).
espérancevarianceécart-type
\(E(X) = 0(0{,}5) + 5(0{,}3) + 10(0{,}15) + 50(0{,}05) = 1{,}5 + 1{,}5 + 2{,}5 = 5{,}5\) €.
\(E(X^2) = 0 + 25(0{,}3) + 100(0{,}15) + 2500(0{,}05) = 7{,}5 + 15 + 125 = 147{,}5\).
\(V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 147{,}5 - 5{,}5^2 = 147{,}5 - 30{,}25 = 117{,}25\).
\(\sigma(X) = \sqrt{117{,}25} \approx 10{,}83\) €.
5
Deux jeux proposent un gain \(G\) (en €). Leurs lois sont :
Jeu A :
\(g\)−101
\(P(G=g)\)0,250,50,25
Jeu B :
\(g\)−10010
\(P(G=g)\)0,250,50,25
a. Vérifier que les deux jeux ont la même espérance.
b. Calculer l'écart-type de chaque jeu. Lequel est le plus « risqué » ?
varianceécart-typecomparaison
a. \(E(G_A) = -1(0{,}25)+0(0{,}5)+1(0{,}25) = 0\) ; \(E(G_B) = -10(0{,}25)+0+10(0{,}25) = 0\). Même espérance nulle.
b. Jeu A : \(E(G_A^2) = 1(0{,}25)+0+1(0{,}25) = 0{,}5\), donc \(V(G_A) = 0{,}5\) et \(\sigma(G_A) = \sqrt{0{,}5} \approx 0{,}71\).
Jeu B : \(E(G_B^2) = 100(0{,}25)+0+100(0{,}25) = 50\), donc \(V(G_B) = 50\) et \(\sigma(G_B) = \sqrt{50} \approx 7{,}07\).
Les deux jeux rapportent 0 € en moyenne, mais le jeu B est bien plus risqué (écart-type 10 fois plus grand).
Groupe 3 — Transformation affine \(Y = aX + b\) ▾
6
Soit \(X\) une variable aléatoire telle que \(E(X) = 4\) et \(V(X) = 9\).
a. On pose \(Y = 2X + 3\). Calculer \(E(Y)\), \(V(Y)\) et \(\sigma(Y)\).
b. On pose \(Z = -X + 10\). Calculer \(E(Z)\), \(V(Z)\) et \(\sigma(Z)\).
transformation affineespérancevariance
\(\sigma(X) = \sqrt{9} = 3\).
a. \(E(Y) = 2 \times 4 + 3 = 11\) ; \(V(Y) = 2^2 \times 9 = 36\) ; \(\sigma(Y) = |2| \times 3 = 6\).
b. \(E(Z) = -1 \times 4 + 10 = 6\) ; \(V(Z) = (-1)^2 \times 9 = 9\) ; \(\sigma(Z) = |-1| \times 3 = 3\).
Remarque : ajouter 10 décale l'espérance mais ne change ni la variance ni l'écart-type.
7
La température \(C\) (en °C) relevée chaque jour dans une serre est une variable aléatoire d'espérance \(E(C) = 20\) et d'écart-type \(\sigma(C) = 4\). On la convertit en degrés Fahrenheit par \(F = 1{,}8\,C + 32\).
Calculer \(E(F)\), \(V(F)\) et \(\sigma(F)\).
transformation affinecontexte
\(E(F) = 1{,}8 \times 20 + 32 = 68\) °F.
\(V(C) = \sigma(C)^2 = 16\), donc \(V(F) = 1{,}8^2 \times 16 = 3{,}24 \times 16 = 51{,}84\).
\(\sigma(F) = 1{,}8 \times 4 = 7{,}2\) °F.
8
Le prix \(X\) (en €) d'un article tiré au hasard dans un magasin vérifie \(E(X) = 50\) et \(V(X) = 100\).
a. Pendant les soldes, tous les prix subissent une remise de 20 %. Le nouveau prix est \(Y = 0{,}8\,X\). Calculer \(E(Y)\) et \(\sigma(Y)\).
b. On ajoute ensuite 5 € de frais de livraison : \(Z = 0{,}8\,X + 5\). Calculer \(E(Z)\) et \(\sigma(Z)\).
transformation affineremise
\(\sigma(X) = \sqrt{100} = 10\).
a. \(E(Y) = 0{,}8 \times 50 = 40\) € ; \(\sigma(Y) = 0{,}8 \times 10 = 8\) € (et \(V(Y) = 0{,}8^2 \times 100 = 64\)).
b. \(E(Z) = 0{,}8 \times 50 + 5 = 45\) € ; \(\sigma(Z) = 0{,}8 \times 10 = 8\) € (les 5 € fixes ne changent pas la dispersion).
Groupe 4 — Exercices type Bac ▾
9
Salaire d'un vendeur (loi + transformation affine)
Un vendeur perçoit chaque mois un salaire fixe de 1 200 € auquel s'ajoute une prime de 100 € par contrat signé. Le nombre \(X\) de contrats signés dans un mois suit la loi :
\(x_i\)01234
\(p_i\)0,10,20,40,20,1
1. Calculer \(E(X)\), \(V(X)\) et \(\sigma(X)\) (arrondir à \(10^{-2}\)).
2. Le salaire mensuel est \(S = 1200 + 100\,X\). Exprimer puis calculer \(E(S)\) et \(\sigma(S)\).
3. Interpréter \(E(S)\) dans le contexte.
loitransformation affinetype bac
1. \(E(X) = 0(0{,}1)+1(0{,}2)+2(0{,}4)+3(0{,}2)+4(0{,}1) = 0{,}2+0{,}8+0{,}6+0{,}4 = 2\) contrats.
\(E(X^2) = 0 + 1(0{,}2)+4(0{,}4)+9(0{,}2)+16(0{,}1) = 0{,}2+1{,}6+1{,}8+1{,}6 = 5{,}2\).
\(V(X) = 5{,}2 - 2^2 = 1{,}2\) ; \(\sigma(X) = \sqrt{1{,}2} \approx 1{,}10\).
2. \(S = 100\,X + 1200\) (forme \(aX+b\) avec \(a=100\), \(b=1200\)).
\(E(S) = 100 \times E(X) + 1200 = 100 \times 2 + 1200 = 1400\) €.
\(\sigma(S) = |100| \times \sigma(X) = 100 \times \sqrt{1{,}2} \approx 109{,}54\) € (et \(V(S) = 100^2 \times 1{,}2 = 12\,000\)).
3. En moyenne, le vendeur gagne 1 400 € par mois, avec une variabilité d'environ ±110 € autour de cette moyenne.
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📚 Exercices complémentaires (3)

Sélection issue de la banque Math@mine + manuel Sésamath (ouvert). Corrigés dépliables.

Exo 1 Exercice Exercice 1
Exercice — Loi de probabilité et espérance

On lance un dé équilibré à 6 faces. \(X\) vaut 2 si on obtient un 6, vaut 1 si on obtient 4 ou 5, et vaut 0 sinon.

  1. Compléter le tableau de la loi de \(X\) et vérifier que la somme des probabilités vaut 1.
  2. Calculer \(E(X)\).
Voir la correction
Correction
  1. \(x_i\)012
    \(p_i\)\(\dfrac{1}{2}\)\(\dfrac{1}{3}\)\(\dfrac{1}{6}\)
    Somme : \(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{3+2+1}{6} = 1\) \checkmark
  2. \(E(X) = 0 \times \dfrac{1}{2} + 1 \times \dfrac{1}{3} + 2 \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3} \approx 0{,}67\).
Exo 2 Exercice Exercice 2
Exercice — Gain net et espérance

Un jeu coûte 1~€ la mise. Un joueur tire une carte dans un jeu de 52. Il gagne 5~€ si c'est un cœur, 2~€ si c'est un carreau, et rien sinon. Soit \(G\) le gain net (gains moins mise).

Construire la loi de \(G\), puis calculer \(E(G)\). Le jeu est-il favorable au joueur ?

Voir la correction
Correction

Gains bruts : 5~€ (cœur, prob. \(\frac{1}{4}\)), 2~€ (carreau, prob. \(\frac{1}{4}\)), 0~€ (autre, prob. \(\frac{1}{2}\)). Gain net \(G = \) gain brut \(-1\).

\(g\)41\(-1\)
\(P(G=g)\)\(\frac{1}{4}\)\(\frac{1}{4}\)\(\frac{1}{2}\)

\(E(G) = 4 \times \dfrac{1}{4} + 1 \times \dfrac{1}{4} + (-1) \times \dfrac{1}{2} = 1 + 0{,}25 - 0{,}5 = 0{,}75\)~€.

\(E(G) > 0\) : le jeu est favorable au joueur.

Exo 3 Exercice Exercice 3
Exercice — Loi, variance et écart-type

\(X\) est une variable aléatoire dont la loi est :

\(x_i\)\(-2\)035
\(p_i\)0,1\(a\)0,40,2
  1. Trouver \(a\).
  2. Calculer \(E(X)\), \(V(X)\) et \(\sigma(X)\).
Voir la correction
Correction
  1. \(0{,}1 + a + 0{,}4 + 0{,}2 = 1 \Rightarrow a = 0{,}3\).
  2. \(E(X) = (-2)(0{,}1) + 0(0{,}3) + 3(0{,}4) + 5(0{,}2) = -0{,}2 + 0 + 1{,}2 + 1 = 2\).

    \(E(X^2) = 4(0{,}1) + 0(0{,}3) + 9(0{,}4) + 25(0{,}2) = 0{,}4 + 3{,}6 + 5 = 9\).

    \(V(X) = 9 - 4 = 5\). \quad \(\sigma(X) = \sqrt{5} \approx 2{,}24\).