Terminale — Maths Complementaires · Math@mine
Un coureur démarre un 100 m. Sa vitesse \(v(t)\) (en m/s) est mesuree chaque seconde. Par exemple, apres 5 secondes, il atteint 10 m/s. On connait la vitesse a chaque instant, mais on veut calculer la distance totale parcourue.
Si la vitesse etait constante, la distance serait simplement \(d = v \times t\). Mais la vitesse varie ! Il faut « additionner » les petites distances \(v(t)\,\Delta t\) sur chaque petit intervalle de temps. C’est exactement le role de l'integrale :
\[d = \int_0^{12} v(t)\,\mathrm{d}t\]
Archimede (287–212 av. J.-C.) est le premier a avoir calcule l’aire sous une parabole en utilisant une méthode d’exhaustion : il inscrivait des triangles de plus en plus fins pour approcher l’aire exacte. Il obtint ainsi que l’aire du segment parabolique vaut les deux tiers du rectangle englobant.
Deux mille ans plus tard, Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716) et Isaac Newton (1643–1727), independamment, formaliserent le calcul infinitesimal. Leibniz introduisit le symbole \(\int\) (lettre S allongee, pour « summa ») et la notation \(\mathrm{d}x\). Le théorème fondamental de l’analyse relie dérivation et integration, unifiant deux operations qui semblaient distinctes.
Soit \(f(x) = x^2\) sur l’intervalle \([0\,;\,3]\). L’aire entre la courbe, l’axe des abscisses et les droites \(x = 0\) et \(x = 3\) est-elle plus grande ou plus petite que l’aire du triangle de sommets \((0,0)\), \((3,0)\) et \((3,9)\) ?
Si \(F\) et \(G\) sont deux primitives de \(f\) sur \(I\), alors \((F - G)' = F' - G' = f - f = 0\) sur \(I\). Or une fonction de dérivée nulle sur un intervalle est constante (consequence du théorème des accroissements finis, admis). Donc \(F - G = C\) pour une constante \(C\).
Existence. Soit \(G\) une primitive quelconque de \(f\) sur \(I\) (on admet qu’il en existe, puisque \(f\) est continue — théorème fondamental de l’analyse). Posons :
\(F(x) = G(x) + \bigl(y_0 - G(x_0)\bigr).\)
Alors \(F' = G' = f\) (la constante ajoutée a une dérivée nulle), donc \(F\) est une primitive de \(f\), et \(F(x_0) = G(x_0) + y_0 - G(x_0) = y_0\). ✓
Unicité. Soient \(F_1\) et \(F_2\) deux primitives vérifiant \(F_1(x_0) = F_2(x_0) = y_0\). D’après la propriété précédente, elles diffèrent d’une constante : \(F_1 - F_2 = C\). En évaluant en \(x_0\) : \(F_1(x_0) - F_2(x_0) = y_0 - y_0 = 0 = C\). Donc \(F_1 = F_2\). ∎
Les primitives de \(f\) sont \(F(x) = x^2 + C\). On impose \(F(1) = 1 + C = 3\), donc \(C = 2\).
Ainsi \(F(x) = x^2 + 2\).
| Fonction \(f(x)\) | Primitive \(F(x)\) | Intervalle |
|---|---|---|
| \(k\) (constante) | \(kx\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(x^n\) (\(n \in \mathbb{N}\)) | \(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\dfrac{1}{x^2} = x^{-2}\) | \(-\dfrac{1}{x}\) | \(]0\,;+\infty[\) ou \(]-\infty\,;0[\) |
| \(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\) | \(2\sqrt{x}\) | \(]0\,;+\infty[\) |
| \(\cos x\) | \(\sin x\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\sin x\) | \(-\cos x\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\mathrm{e}^x\) | \(\mathrm{e}^x\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\dfrac{1}{x}\) | \(\ln x\) | \(]0\,;+\infty[\) |
Par définition, \(F' = f\) et \(G' = g\). Par linéarité de la dérivation (chapitre 3) :
\((\alpha F + \beta G)' = \alpha F' + \beta G' = \alpha f + \beta g.\)
Donc \(\alpha F + \beta G\) est bien une primitive de \(\alpha f + \beta g\). ∎
\(F(x) = x^3 + 4\cos x + 5\ln x\).
Il suffit de dériver les primitives proposées et de vérifier qu’on retrouve l’intégrande.
Cas \(u' e^u\). D’après la dérivée d’une composée :
\(\bigl(\mathrm{e}^{u(x)}\bigr)' = u'(x) \cdot \mathrm{e}^{u(x)}.\)
Donc \(\mathrm{e}^{u}\) est une primitive de \(u'\mathrm{e}^{u}\). ✓
Cas \(u'/u\) avec \(u(x) > 0\). \(\bigl(\ln u(x)\bigr)' = u'(x) \cdot \dfrac{1}{u(x)} = \dfrac{u'(x)}{u(x)}\). Donc \(\ln u\) est une primitive.
Cas \(u'/u\) avec \(u(x) < 0\). \(\bigl(\ln(-u(x))\bigr)' = -u'(x) \cdot \dfrac{1}{-u(x)} = \dfrac{u'(x)}{u(x)}\). Donc \(\ln(-u)\) est une primitive.
Dans les deux cas, on peut écrire de façon unifiée \(\ln|u(x)|\), qui est valable tant que \(u\) ne s’annule pas. ∎
Ce résultat est admis (justification intuitive). L’existence de primitives pour les fonctions continues repose sur la construction de l’integrale comme limite d’aires approchees (sommes de Riemann). Intuitivement, si \(F(x) = \int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t\) represente l'« aire accumulee » sous la courbe entre \(a\) et \(x\), alors le taux de variation de cette aire est la « hauteur » \(f(x)\), d’ou \(F'(x) = f(x)\).
Si \(F\) est une primitive de \(f\) et \(G\) une primitive de \(g\), alors \(\alpha F + \beta G\) est une primitive de \(\alpha f + \beta g\) (par linearite de la dérivation, chapitre 3). Donc :
\(\int_a^b [\alpha f + \beta g] = [\alpha F + \beta G]_a^b = \alpha[F(b) - F(a)] + \beta[G(b) - G(a)] = \alpha\int_a^b f + \beta\int_a^b g\).
Si \(F\) est une primitive de \(f\), alors : \(\int_a^c f + \int_c^b f = [F(c) - F(a)] + [F(b) - F(c)] = F(b) - F(a) = \int_a^b f\).
Ce résultat est admis (justification intuitive). Si \(f(x) \geq 0\), l’integrale represente l’aire sous la courbe, qui est positive. Pour la comparaison : si \(f \leq g\), alors \(g - f \geq 0\), donc \(\int_a^b (g - f) \geq 0\), soit \(\int_a^b g \geq \int_a^b f\) (par linearite).
Par definition, \(\int_a^b f = F(b) - F(a)\). Donc \(\int_b^a f = F(a) - F(b) = -(F(b) - F(a)) = -\int_a^b f\). Et \(\int_a^a f = F(a) - F(a) = 0\).
Par linearite : \(\displaystyle\int_0^3 x^2\,\mathrm{d}x + \int_0^3 1\,\mathrm{d}x = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^3 + \Big[x\Big]_0^3 = 9 + 3 = 12\).
Résultat admis. L’égalité entre l’aire géométrique et l’intégrale de Riemann est admise au programme des Maths Complémentaires.
Idée (approche par les rectangles). On découpe \([a\,;\,b]\) en \(n\) sous-intervalles de largeur \(h = (b-a)/n\). Sur chaque sous-intervalle \([x_k\,;\,x_{k+1}]\), on approche l’aire par un rectangle de hauteur \(f(x_k)\). La somme de ces aires vaut :
\(S_n = h \sum_{k=0}^{n-1} f(x_k).\)
Quand \(n \to +\infty\) (donc \(h \to 0\)), cette somme de Riemann tend vers \(\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\). Par construction elle tend aussi vers l’aire sous la courbe, d’où l’égalité. ∎
Supposons que \(f\) change de signe : il existe \(c \in ]a\,;\,b[\) tel que \(f \ge 0\) sur \([a\,;\,c]\) et \(f \le 0\) sur \([c\,;\,b]\) (cas le plus simple ; le cas général se traite par découpage fini).
Sur \([a\,;\,c]\) où \(f \ge 0\) : l’aire entre la courbe et l’axe vaut \(\int_a^c f(x)\,\mathrm{d}x = \int_a^c |f(x)|\,\mathrm{d}x\) (puisque \(|f| = f\)).
Sur \([c\,;\,b]\) où \(f \le 0\) : la courbe est sous l’axe. L’aire géométrique de la région (positive) correspond à l’aire sous la courbe de \(-f \ge 0\), soit \(\int_c^b (-f)\,\mathrm{d}x = \int_c^b |f(x)|\,\mathrm{d}x\) (puisque \(|f| = -f\) ici).
Somme. L’aire totale entre la courbe et l’axe est :
\(\mathcal{A} = \int_a^c |f| + \int_c^b |f| = \int_a^b |f(x)|\,\mathrm{d}x\ \text{(relation de Chasles).}\) ∎
Aire totale : \(\mathcal{A} = 2 + 2 = 4\) unites d’aire.
Cas où \(g \ge 0\). L’aire entre les deux courbes est la différence entre l’aire sous la courbe de \(f\) et l’aire sous la courbe de \(g\) :
\(\mathcal{A} = \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x - \int_a^b g(x)\,\mathrm{d}x = \int_a^b \bigl[f(x) - g(x)\bigr]\,\mathrm{d}x\) (par linéarité).
Cas général. Soit \(m = \min_{[a,b]} g\) (existe car \(g\) est continue sur un intervalle fermé borné). Posons \(\tilde{f} = f - m\) et \(\tilde{g} = g - m\) : on a \(\tilde{g} \ge 0\) et \(\tilde{f} \ge \tilde{g}\). En appliquant le cas précédent aux fonctions \(\tilde{f}\) et \(\tilde{g}\) (aire invariante par translation verticale) :
\(\mathcal{A} = \int_a^b \bigl[\tilde{f} - \tilde{g}\bigr]\,\mathrm{d}x = \int_a^b \bigl[(f - m) - (g - m)\bigr]\,\mathrm{d}x = \int_a^b \bigl[f - g\bigr]\,\mathrm{d}x.\) ∎
\(\mu = \dfrac{1}{3-0}\displaystyle\int_0^3 x^2\,\mathrm{d}x = \frac{1}{3}\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^3 = \frac{1}{3} \times 9 = 3\).
Si la temperature au cours d’une journee (de 0 h a 24 h) est modelisee par \(T(t) = 15 + 8\sin\!\left(\frac{\pi}{12}(t - 6)\right)\), la temperature moyenne sur la journee est :
\[\mu = \frac{1}{24}\int_0^{24} \left[15 + 8\sin\!\left(\frac{\pi}{12}(t-6)\right)\right]\mathrm{d}t\]
Par linearite : \(\mu = 15 + \frac{8}{24}\displaystyle\int_0^{24} \sin\!\left(\frac{\pi}{12}(t-6)\right)\mathrm{d}t\). L’integrale de sinus sur une période complete est nulle, donc \(\mu = 15\) °C.
| Notion | Formule |
|---|---|
| Primitive | \(F'(x) = f(x)\) ; les primitives de \(f\) sont \(F(x) + C\) |
| Integrale | \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = F(b) - F(a)\) |
| Linearite | \(\displaystyle\int_a^b [\alpha f + \beta g] = \alpha\int_a^b f + \beta\int_a^b g\) |
| Relation de Chasles | \(\displaystyle\int_a^b f = \int_a^c f + \int_c^b f\) |
| Positivite | Si \(f \geq 0\), alors \(\displaystyle\int_a^b f \geq 0\) |
| Aire sous la courbe | \(\mathcal{A} = \displaystyle\int_a^b |f(x)|\,\mathrm{d}x\) |
| Aire entre deux courbes | \(\mathcal{A} = \displaystyle\int_a^b [f(x) - g(x)]\,\mathrm{d}x\) si \(f \geq g\) |
| Valeur moyenne | \(\mu = \dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\) |
Si la vitesse du coureur est modelisee par \(v(t) = \frac{10t}{t+1}\) m/s sur \([0 ; 12]\), la distance parcourue est :
\[d = \int_0^{12} \frac{10t}{t+1}\,\mathrm{d}t = \int_0^{12} 10\left(1 - \frac{1}{t+1}\right)\mathrm{d}t = \left[10t - 10\ln(t+1)\right]_0^{12}\]
\(d = 10 \times 12 - 10\ln 13 - 0 = 120 - 10\ln 13 \approx 120 - 25{,}65 \approx 94{,}35\) m.
Le coureur parcourt environ 94,4 m en 12 secondes. L’integrale « additionne » les petites distances instantanées \(v(t)\,\mathrm{d}t\).
L’aire du triangle vaut \(\frac{1}{2} \times 3 \times 9 = 13{,}5\) unites d’aire.
L’aire sous la parabole vaut \(\displaystyle\int_0^3 x^2\,\mathrm{d}x = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^3 = \frac{27}{3} - 0 = 9\) unites d’aire.
L’aire sous la parabole (\(9\)) est strictement inferieure a l’aire du triangle (\(13{,}5\)). En fait, elle en vaut exactement les deux tiers, résultat déjà connu d’Archimede !
Integration : teste d’abord ton intuition.
« Une primitive de \(\dfrac{1}{x}\) est \(\ln x\). »
Cette affirmation est-elle correcte ?
Faux (incomplet). Sur \(]0;+\infty[\), oui. Mais sur \(]-\infty;0[\), c’est \(\ln|x|\). La primitive correcte est \(\ln|x| + C\).
Mini-test : \(\int_{-2}^{-1} \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x = ?\)
« \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\) donne toujours l’aire entre la courbe et l’axe des abscisses. »
Cette affirmation est-elle correcte ?
Faux. Si \(f\) prend des valeurs négatives, l’integrale compte negativement les aires sous l’axe. L’aire est \(\int_a^b |f(x)|\,\mathrm{d}x\).
Mini-test : \(\int_0^{2\pi} \sin x\,\mathrm{d}x = ?\)
« \(\displaystyle\int_a^b f = \int_b^a f\). »
Cette affirmation est-elle correcte ?
Faux. Inverser les bornes change le signe : \(\int_b^a f = -\int_a^b f\).
Mini-test : \(\int_1^0 2x\,\mathrm{d}x = ?\)
« La primitive de \(x^n\) est \(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\) pour tout entier \(n\). »
Cette affirmation est-elle correcte ?
Faux (pas pour \(n = -1\)). Si \(n = -1\), on a \(x^{-1} = \frac{1}{x}\) et la primitive est \(\ln|x|\), pas \(\frac{x^0}{0}\) (division par zéro !).
Mini-test : une primitive de \(x^{-2}\) est :
« La primitive de \(2x\) est \(x^2\). »
Cette affirmation est-elle correcte ?
Faux (incomplet). \(x^2\) est une primitive, mais les primitives sont \(x^2 + C\) ou \(C\) est une constante réelle quelconque. Toutes les fonctions \(x^2 + 1\), \(x^2 - 3\), \(x^2 + \pi\) sont aussi des primitives de \(2x\).
Mini-test : combien y a-t-il de primitives de \(3x^2\) ?
« \(\displaystyle\int_a^b f + \int_b^c f = \int_a^c f\). »
Cette affirmation est-elle correcte ?
C’est vrai ! C’est la relation de Chasles pour les integrales. Elle est valable meme si \(c < b\) ou si \(b\) est en dehors de \([a;c]\).
Mini-test : \(\int_0^1 f + \int_1^3 f + \int_3^5 f = ?\)