Math@mine / Maths Complémentaires / Ch. 6

Exercices — Intégration

Maths Complémentaires · Chapitre 6

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Primitives, intégrales définies, théorème fondamental, calcul d'aires, valeur moyenne.
Exo 1Primitives

Donner une primitive sur \(\mathbb{R}\) :

  1. \(f(x) = 3x^2 + 4x - 5\)
  2. \(g(x) = e^{2x}\)
  3. \(h(x) = \dfrac{1}{x}\) (sur \(]0\,;\,+\infty[\))
  4. \(k(x) = \cos(3x)\)
Voir la correction

1. \(F(x) = x^3 + 2x^2 - 5x\) (+ constante).

2. \(G(x) = \dfrac{1}{2} e^{2x}\).

3. \(H(x) = \ln x\).

4. \(K(x) = \dfrac{1}{3}\sin(3x)\).

Exo 2Intégrales définies

Calculer :

  1. \(\displaystyle\int_0^2 (3x^2 - 1) \, dx\)
  2. \(\displaystyle\int_1^e \dfrac{1}{x} \, dx\)
  3. \(\displaystyle\int_0^{\ln 2} e^x \, dx\)
  4. \(\displaystyle\int_0^{\pi/2} \sin x \, dx\)
Voir la correction

1. \(\big[x^3 - x\big]_0^2 = 8 - 2 = 6\).

2. \(\big[\ln x\big]_1^e = 1 - 0 = 1\).

3. \(\big[e^x\big]_0^{\ln 2} = 2 - 1 = 1\).

4. \(\big[-\cos x\big]_0^{\pi/2} = 0 - (-1) = 1\).

Exo 3Aire entre deux courbes

Soient \(f(x) = x^2\) et \(g(x) = 2x\) sur \([0\,;\,2]\).

  1. Étudier la position relative de \(\mathcal{C}_f\) et \(\mathcal{C}_g\) sur \([0,2]\).
  2. Calculer l'aire \(\mathcal{A}\) de la région comprise entre les deux courbes.
Voir la correction

1. \(g(x) - f(x) = 2x - x^2 = x(2-x) \geq 0\) sur \([0,2]\). Donc \(g \geq f\) sur \([0,2]\).

2. \(\mathcal{A} = \displaystyle\int_0^2 (g - f)(x) \, dx = \int_0^2 (2x - x^2) \, dx = \big[x^2 - x^3/3\big]_0^2 = 4 - 8/3 = 4/3\) u.a.

Exo 4Valeur moyenne

Calculer la valeur moyenne de \(f(x) = e^{-x}\) sur \([0\,;\,1]\).

Voir la correction

\(\bar{f} = \dfrac{1}{1-0}\displaystyle\int_0^1 e^{-x}\,dx = \big[-e^{-x}\big]_0^1 = -e^{-1} + 1 = 1 - \dfrac{1}{e} \approx 0{,}632\).

Exo 5Application — Loi exponentielle (durée de vie)

La durée de vie \(T\) (en années) d'un composant suit une loi exponentielle de paramètre \(\lambda = 0{,}1\) : \(P(T \leq t) = \displaystyle\int_0^t \lambda e^{-\lambda x}\,dx\).

  1. Calculer \(P(T \leq 5)\).
  2. Calculer \(P(T \geq 10)\).
  3. Quelle est l'espérance de vie \(E(T) = 1/\lambda\) ?
Voir la correction

1. \(P(T\leq 5) = \big[-e^{-0{,}1 x}\big]_0^5 = 1 - e^{-0{,}5} \approx 0{,}393\).

2. \(P(T \geq 10) = 1 - P(T \leq 10) = e^{-1} \approx 0{,}368\).

3. \(E(T) = 1/0{,}1 = 10\) ans.