Math@mine / Maths Complémentaires / Ch. 5

Exercices — Trigonométrie

Maths Complémentaires · Chapitre 5

← Retour au cours
Cercle trigonométrique, valeurs remarquables, équations \(\cos x = a\) / \(\sin x = a\), dérivées des fonctions composées.
Exo 1Valeurs remarquables et angles associés

Calculer sans calculatrice :

  1. \(\cos\!\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)\), \(\sin\!\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)\)
  2. \(\cos\!\left(-\dfrac{2\pi}{3}\right)\), \(\sin\!\left(-\dfrac{2\pi}{3}\right)\)
  3. \(\cos(\pi - x)\), \(\sin\!\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right)\)
Voir la correction

1. \(\dfrac{5\pi}{6} = \pi - \dfrac{\pi}{6}\). \(\cos = -\cos(\pi/6) = -\dfrac{\sqrt 3}{2}\), \(\sin = \sin(\pi/6) = \dfrac{1}{2}\).

2. Parité : \(\cos(-x) = \cos x\), \(\sin(-x) = -\sin x\). \(\cos(2\pi/3) = -1/2\), \(\sin(2\pi/3) = \sqrt 3/2\). Donc \(\cos = -1/2\), \(\sin = -\sqrt 3/2\).

3. \(\cos(\pi - x) = -\cos x\) ; \(\sin(\pi/2 - x) = \cos x\).

Exo 2Équations trigonométriques

Résoudre dans \([0\,;\,2\pi]\) :

  1. \(\cos x = \dfrac{\sqrt 2}{2}\)
  2. \(\sin x = -\dfrac{1}{2}\)
  3. \(2\cos^2 x - 1 = 0\)
Voir la correction

1. \(\cos x = \dfrac{\sqrt 2}{2}\) : solutions de référence \(\pm \pi/4\). Sur \([0,2\pi]\) : \(x \in \{\pi/4\,;\,7\pi/4\}\).

2. \(\sin x = -1/2\) : sur \([0,2\pi]\), \(x \in \{7\pi/6\,;\,11\pi/6\}\).

3. \(2\cos^2 x - 1 = 0 \iff \cos^2 x = 1/2 \iff \cos x = \pm \dfrac{\sqrt 2}{2}\). Sur \([0,2\pi]\) : \(x \in \{\pi/4\,;\,3\pi/4\,;\,5\pi/4\,;\,7\pi/4\}\).

Exo 3Dérivation

Calculer la dérivée :

  1. \(f(x) = \sin(2x + 1)\)
  2. \(g(x) = \cos^2 x\)
  3. \(h(x) = x \sin x\)
Voir la correction

1. \(f'(x) = 2\cos(2x + 1)\).

2. \(g(x) = (\cos x)^2\), donc \(g'(x) = 2\cos x \times (-\sin x) = -2\sin x \cos x = -\sin(2x)\).

3. \(h'(x) = \sin x + x \cos x\) (produit).

Exo 4Modélisation périodique

La hauteur d'eau dans un port modélisée par \(h(t) = 5 + 2\sin\!\left(\dfrac{\pi t}{6}\right)\) (en m, \(t\) en heures).

  1. Quelle est la période ? La hauteur min et max ?
  2. À quelles heures la hauteur dépasse-t-elle 6 m, sur \([0\,;\,12]\) ?
Voir la correction

1. Période \(T\) telle que \(\dfrac{\pi T}{6} = 2\pi\), donc \(T = 12\) h. Sin varie entre \(-1\) et \(1\), donc \(h\) varie entre \(5-2=3\) m et \(5+2=7\) m.

2. \(h(t) > 6 \iff \sin(\pi t/6) > 1/2 \iff \pi t/6 \in ]\pi/6, 5\pi/6[\) (sur \([0, 2\pi]\)) \(\iff t \in ]1, 5[\). Sur \([0, 12]\) : \(t \in \,]1\,;\,5[\).