Math@mine / Maths Complémentaires / Ch. 1

Exercices — Suites numériques

Maths Complémentaires · Chapitre 1

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Sélection d'exercices types couvrant : sens de variation, majoration / minoration, limites, convergence monotone, applications financières (emprunts, placements).
Exo 1Sens de variation

Étudier le sens de variation des suites \((u_n)\) suivantes :

  1. \(u_n = 3n^2 - 5n + 2\) pour \(n \in \mathbb{N}\).
  2. \(u_n = \dfrac{n+1}{n+2}\) pour \(n \in \mathbb{N}\).
  3. \(u_0 = 1\) et \(u_{n+1} = u_n + \dfrac{1}{n+1}\) pour \(n \in \mathbb{N}\).
Voir la correction

1. \(u_{n+1} - u_n = 3(n+1)^2 - 5(n+1) - 3n^2 + 5n = 6n - 2\). Pour \(n \geq 1\), \(u_{n+1} - u_n > 0\) : \((u_n)\) est strictement croissante à partir du rang 1. (\(u_1 = 0\), \(u_0 = 2\) donc \(u_1 < u_0\) au rang 0.)

2. \(u_{n+1} - u_n = \dfrac{n+2}{n+3} - \dfrac{n+1}{n+2} = \dfrac{(n+2)^2 - (n+1)(n+3)}{(n+2)(n+3)} = \dfrac{1}{(n+2)(n+3)} > 0\). Suite strictement croissante.

3. \(u_{n+1} - u_n = \dfrac{1}{n+1} > 0\). Suite strictement croissante.

Exo 2Majoration et minoration

Soit \((u_n)\) définie par \(u_0 = 0\) et \(u_{n+1} = \dfrac{u_n + 4}{2}\) pour \(n \in \mathbb{N}\).

  1. Calculer \(u_1\), \(u_2\), \(u_3\) et conjecturer une majoration.
  2. Démontrer par récurrence que \(0 \leq u_n \leq 4\) pour tout \(n\).
  3. Étudier le sens de variation.
Voir la correction

1. \(u_1 = 2\), \(u_2 = 3\), \(u_3 = 3{,}5\). On conjecture \(u_n \leq 4\).

2. Initialisation : \(u_0 = 0 \in [0,4]\) ✓. Hérédité : si \(0 \leq u_n \leq 4\), alors \(4 \leq u_n + 4 \leq 8\), donc \(2 \leq u_{n+1} \leq 4\). En particulier \(0 \leq u_{n+1} \leq 4\) ✓. Conclusion par récurrence.

3. \(u_{n+1} - u_n = \dfrac{u_n + 4}{2} - u_n = \dfrac{4 - u_n}{2}\). Comme \(u_n \leq 4\), \(u_{n+1} - u_n \geq 0\) : \((u_n)\) est croissante.

Exo 3Limites

Calculer la limite des suites suivantes :

  1. \(u_n = \dfrac{2n^2 - 3n + 1}{n^2 + 4}\)
  2. \(v_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}\)
  3. \(w_n = 0{,}9^n + \dfrac{1}{n}\)
Voir la correction

1. Factoriser \(n^2\) au numérateur et au dénominateur : \(u_n = \dfrac{2 - 3/n + 1/n^2}{1 + 4/n^2} \to 2\).

2. Quantité conjuguée : \(v_n = \dfrac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} \to 0\).

3. \(0{,}9^n \to 0\) (suite géométrique de raison \(|q| < 1\)) et \(1/n \to 0\), donc \(w_n \to 0\).

Exo 4Convergence monotone

Soit \((u_n)\) la suite précédente (Exo 2) : \(u_0 = 0\) et \(u_{n+1} = \dfrac{u_n + 4}{2}\).

  1. Justifier que \((u_n)\) converge.
  2. Calculer sa limite \(\ell\).
Voir la correction

1. \((u_n)\) est croissante (Exo 2.3) et majorée par 4 (Exo 2.2). Par le théorème de convergence monotone, elle converge.

2. Soit \(\ell\) sa limite. Par continuité de \(x \mapsto (x+4)/2\), on a \(\ell = (\ell + 4)/2\), soit \(\ell = 4\).

Exo 5Application — Placement bancaire

Aïssa place \(2\,000\,\)€ sur un livret rémunéré à \(2\,\%\) annuel. Chaque année, elle ajoute \(500\,\)€.

  1. On note \(u_n\) la somme disponible au bout de \(n\) années. Exprimer \(u_{n+1}\) en fonction de \(u_n\).
  2. Donner une expression explicite de \(u_n\) (suite arithmético-géométrique).
  3. Au bout de combien d'années la somme dépasse-t-elle \(20\,000\,\)€ ?
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1. \(u_0 = 2\,000\) et \(u_{n+1} = 1{,}02\,u_n + 500\).

2. Point fixe : \(\ell = 1{,}02\ell + 500 \Rightarrow \ell = -25\,000\). Donc \((u_n + 25\,000)\) est géométrique de raison \(1{,}02\) et de premier terme \(2\,000 + 25\,000 = 27\,000\). D'où \(u_n = 27\,000 \times 1{,}02^n - 25\,000\).

3. \(u_n > 20\,000 \iff 1{,}02^n > 45/27 = 5/3 \iff n > \dfrac{\ln(5/3)}{\ln(1{,}02)} \approx 25{,}8\). Donc \(n = 26\) ans.