Abū ʿAbd Allāh Muḥammad ibn Mūsā Al-Khwarizmi est né vers 780 à Khwarezm (l'actuelle Khiva, Ouzbékistan, entre la mer Caspienne et la mer d'Aral). Il meurt à Bagdad vers 850.
Son nom — qui signifie littéralement « l'homme de Khwarezm » — a donné en français deux mots distincts :
Al-Khwarizmi était l'un des érudits les plus brillants de la Maison de la Sagesse (Bayt al-ḥikma, بيت الحكمة), une académie scientifique fondée à Bagdad sous le calife abbasside Al-Ma'mūn (règne 813–833). Cette institution rassemblait des savants de toutes confessions et traduisait en arabe les textes grecs, indiens et persans.
Le titre du livre majeur d'Al-Khwarizmi est :
« Al-Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-jabr wa-l-muqābala »
(Le livre abrégé du calcul par la restauration et la comparaison)
Deux mots de ce titre méritent l'arrêt :
Le verbe jabara (جبر) signifie en arabe réparer une fracture, restaurer. Pour Al-Khwarizmi, al-jabr consiste à ajouter aux deux membres d'une équation un même terme pour faire disparaître les soustractions et n'avoir que des termes positifs. Par exemple :
$$4x^2 - 5x + 1 = x^2 + \tfrac{1}{2}x$$
on ajoute \(5x\) aux deux membres :
$$4x^2 + 1 = x^2 + \tfrac{11}{2}x$$
(à l'époque, on ne maniait pas les nombres négatifs : il fallait donc les éliminer).
Il s'agit de regrouper les termes de même nature de part et d'autre du signe « = ». Reprenant l'exemple :
$$8x^2 + 2 = 2x^2 + 11x \quad\Longrightarrow\quad 6x^2 + 2 = 11x$$
Ces deux opérations — al-jabr + al-muqābala — permettent de ramener n'importe quelle équation quadratique à l'une des six formes canoniques ci-dessous. Et comme, à l'époque, le coefficient \(a\) du terme \(ax^2\) était toujours rendu égal à 1 par division finale, Al-Khwarizmi distingue donc 6 types selon les signes.
Trois mots-clés reviennent dans toutes ses équations :
Pas de \(x\) ni de \(x^2\) symboliques : tout est rédigé en mots.
Al-Khwarizmi distingue trois équations simples (deux termes seulement) et trois équations composées (trois termes) :
| # | Selon Al-Khwarizmi | Notation moderne |
|---|---|---|
| Équations simples | ||
| T₁ | Carrés égaux aux racines | \(ax^2 = bx\) |
| T₂ | Carrés égaux à un nombre | \(ax^2 = c\) |
| T₃ | Racines égales à un nombre | \(bx = c\) |
| Équations composées | ||
| T₄ | Carrés et racines égaux à un nombre | \(x^2 + bx = c\) |
| T₅ | Carrés et nombre égaux aux racines | \(x^2 + c = bx\) |
| T₆ | Carrés égaux aux racines et au nombre | \(x^2 = bx + c\) |
Ces six types couvrent toutes les équations du second degré à coefficients positifs. Aujourd'hui, on les regroupe en une seule formule (la formule du discriminant), mais cette unification suppose qu'on accepte les coefficients négatifs — ce qui n'a été acquis qu'au XVIIe siècle.
Voici comment Al-Khwarizmi résolvait géométriquement \(x^2 = 3x + 4\) (forme T₆ avec \(b = 3\), \(c = 4\)).
Carré de côté \(x\) découpé en deux rectangles : l'un d'aire \(3x\), l'autre d'aire \(4\).
Cette méthode est l'ancêtre de la mise sous forme canonique que tu connais en Première :
$$x^2 - 3x - 4 = \left(x - \tfrac{3}{2}\right)^2 - \tfrac{25}{4} = 0$$
$$\Longleftrightarrow \quad x - \tfrac{3}{2} = \tfrac{5}{2} \quad\text{(seule solution positive)} \quad\Longleftrightarrow \quad x = 4$$
Trois siècles plus tard, un mathématicien marocain — Ibn al-Yāsamin, né à Fès au XIIe siècle, mort assassiné à Marrakech en 1202 — résume tous les algorithmes de résolution dans un poème didactique de 57 vers, l'Urjūza fī al-jabr wa-l-muqābala (الأرجوزة في الجبر والمقابلة), aussi appelé al-Yāsamīniyya.
Pourquoi un poème ? Dans la tradition arabe, on versifie toutes les sciences, qu'elles soient mathématiques, religieuses ou littéraires. Un poème se mémorise plus facilement : le poème devient un aide-mémoire que les élèves apprennent par cœur. Il a été commenté par Ibn Qunfudh (1339–1407) au Maghreb, par Sibṭ al-Mārdīnī (1423–1506) en Orient, et par bien d'autres.
« Yāsamīn en arabe signifie « jasmin » — c'était le prénom de la mère du poète. »
« Carre la moitié des choses, et ajoute prudemment au nombre. Prends ensuite la racine carrée du résultat, puis soustrais la moitié — comprends bien le secret. »
L'algorithme dicté par le vers :
$$\boxed{x = \sqrt{\left(\dfrac{b}{2}\right)^2 + c} - \dfrac{b}{2}}$$
Cette équation est plus subtile car elle peut avoir deux solutions, une seule, ou aucune. Le poète distingue les trois cas :
On reconnaît ici le discriminant au signe près : \(\Delta' = \left(\dfrac{b}{2}\right)^2 - c\). C'est exactement la condition que tu utilises aujourd'hui !
Si l'équation s'écrit \(ax^2 + bx = c\) avec \(a \neq 1\), Al-Khwarizmi propose deux méthodes :
Sibt al-Mārdīnī donne dans son commentaire : résoudre \(\tfrac{5}{4}x^2 + 5x = 75\).
On pose \(X = \tfrac{5}{4} x\), l'équation devient \(X^2 + 5X = \tfrac{375}{4}\) (du type T₄).
On applique l'algorithme :
$$X_0 = \sqrt{\left(\dfrac{5}{2}\right)^2 + \dfrac{375}{4}} - \dfrac{5}{2} = \sqrt{100} - \dfrac{5}{2} = \dfrac{15}{2}$$
Puis \(x_0 = \dfrac{X_0}{5/4} = \dfrac{15/2}{5/4} = 6\). ∎
Si tu prends une équation moderne \(ax^2 + bx + c = 0\) (avec \(a, b, c\) de signe quelconque), tu calcules le discriminant :
$$\Delta = b^2 - 4ac$$
et tu utilises la formule unifiée :
$$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$$
Cette formule cache, en réalité, les six cas d'Al-Khwarizmi :
L'économie de la formule moderne repose sur l'acceptation des nombres négatifs, qui n'a été pleinement acquise qu'avec Cardan et Bombelli au XVIe siècle (voir notre article Oser l'imaginaire).
Trois raisons pédagogiques :