Note liminaire : Tout ce qui suit est une fiction narrative. Les résultats mathématiques et les attributions sont historiquement documentés, principalement par les travaux de Roshdi Rashed. Seule la conversation est inventée.
En effet. Dans mon traité Opuscules, j'étudie les congruences et je découvre un résultat remarquable sur les nombres premiers. Observez :
Vous voyez le schéma ? Si \(p\) est premier, alors \(p\) divise \((p-1)! + 1\). Et si \(p\) n’est pas premier, ce n’est jamais le cas.
Énoncé : Un entier \(p \geqslant 2\) est premier si et seulement si :
Autrement dit : \(p\) divise \((p-1)! + 1\).
Exemples :
Ce résultat est attribué en Occident à John Wilson (1770), mais Ibn al-Haytham l'énonce sept siècles plus tôt.
Ce résultat m’a fasciné quand j’ai lu vos travaux, maître Ibn al-Haytham. Il donne un critère exact de primalité — contrairement au crible d'Ératosthène qui énumère les premiers sans donner de condition algébrique. Malheureusement, calculer \((p-1)!\) pour un grand \(p\) est démesurément long, ce qui en fait un critère théorique plutôt que pratique.
Source : Roshdi Rashed, « Ibn al-Haytham et le théorème de Wilson », Archive for History of Exact Sciences, vol. 22, 1980, pp. 305–321.
Un nombre parfait est un nombre égal à la somme de ses diviseurs propres (c’est-à-dire tous ses diviseurs sauf lui-même).
Euclide avait déjà montré (Éléments IX, prop. 36) que si \(2^n - 1\) est premier, alors \(2^{n-1}(2^n - 1)\) est parfait. C’est ainsi qu’on obtient 6, 28, 496…
Moi, j’ai voulu démontrer la réciproque : tout nombre parfait pair est-il de cette forme ? J’ai tenté cette preuve dans Analyse et synthèse.
Théorème d’Euclide (IX.36) : Si \(2^n - 1\) est premier (on dit que c’est un premier de Mersenne), alors
| \(n\) | \(2^n - 1\) | Premier ? | Nombre parfait |
|---|---|---|---|
| 2 | 3 | Oui | \(2 \times 3 = 6\) |
| 3 | 7 | Oui | \(4 \times 7 = 28\) |
| 5 | 31 | Oui | \(16 \times 31 = 496\) |
| 7 | 127 | Oui | \(64 \times 127 = 8\,128\) |
| 4 | 15 | Non (\(3 \times 5\)) | — |
Réciproque (Euler, 1747) : tout nombre parfait pair est de cette forme. Ibn al-Haytham est le premier à tenter cette preuve — Euler la complète sept siècles plus tard.
Question ouverte : existe-t-il des nombres parfaits impairs ? Personne ne le sait. Aucun n’a jamais été trouvé.
Source : Roshdi Rashed, « Ibn al-Haytham et les nombres parfaits », Historia Mathematica, vol. 16, 1989, pp. 343–352.
Mon maître spirituel est Thābit ibn Qurra, qui avait découvert trois siècles avant moi une règle pour trouver des nombres amiables — des paires de nombres où chacun est la somme des diviseurs propres de l’autre.
L’exemple le plus célèbre est la paire (220, 284) :
Chacun est « ami » de l’autre — d’où le nom.
Thābit avait donné une formule pour construire de telles paires. Ma contribution a été de démontrer rigoureusement son théorème, en introduisant des méthodes nouvelles de factorisation et de combinatoire.
J’ai démontré que la somme des diviseurs d’un nombre dépend de sa décomposition en facteurs premiers. C’est une idée fondamentale : pour comprendre les propriétés d’un nombre, il faut d’abord le décomposer.
Théorème (Thābit ibn Qurra, IXe s., démontré par Al-Farisi, XIIIe s.) :
Si les trois nombres suivants sont tous premiers :
alors \(2^n \cdot p \cdot q\) et \(2^n \cdot r\) forment une paire de nombres amiables.
Exemple : Pour \(n = 2\) : \(p = 5\), \(q = 11\), \(r = 71\) — tous premiers. On obtient \(2^2 \times 5 \times 11 = 220\) et \(2^2 \times 71 = 284\). C’est la paire (220, 284) !
Note historique : Kamāl al-Dīn al-Fārisī (vers 1260–1320) travaille à Tabriz (Perse). Son traité de théorie des nombres est l’un des plus importants du monde islamique médiéval. Il y démontre le théorème de Thābit sur les nombres amiables et donne également une preuve originale de l’infinité des nombres premiers, indépendante de celle d’Euclide.
Parce que la factorisation révèle la structure intime d’un nombre. Prenons 360 :
Une fois qu’on connaît cette décomposition, on peut calculer tout : le nombre de diviseurs, leur somme, si le nombre est parfait ou amiable…
Le nombre de diviseurs de 360 est \((3+1)(2+1)(1+1) = 24\). La somme des diviseurs est \((1+2+4+8)(1+3+9)(1+5) = 15 \times 13 \times 6 = 1\,170\).
C’est exactement ce qu’Euclide pressentait avec son théorème fondamental de l’arithmétique : tout entier se décompose de façon unique en produit de premiers. Vous, Al-Farisi, avez transformé cette décomposition en outil de calcul.
Formule (utilisée par Al-Farisi) : Si \(n = p_1^{a_1} \cdots p_k^{a_k}\), alors la somme de tous les diviseurs de \(n\) est :
Exemple : \(\sigma(28) = \sigma(2^2 \times 7) = \dfrac{2^3 - 1}{2 - 1} \times \dfrac{7^2 - 1}{7 - 1} = 7 \times 8 = 56 = 2 \times 28\).
Comme \(\sigma(28) = 2 \times 28\), le nombre 28 est parfait (la somme de ses diviseurs propres vaut \(56 - 28 = 28\)).
Ce qui me frappe chez Al-Farisi, c’est la rigueur de ses démonstrations. J’avais posé des conjectures, tenté des preuves. Lui les a achevées avec des méthodes nouvelles — la combinatoire, la factorisation systématique. C’est le propre d’une tradition vivante : chaque génération reprend et dépasse la précédente.
Et moi, je n’aurais rien fait sans vous, maître. Ni sans Thābit ibn Qurra, ni sans Euclide. La théorie des nombres est une chaîne : chaque maillon renforce les autres. Ce que j’ai démontré à Tabriz au XIIIe siècle, un mathématicien suisse nommé Euler le redécouvrira au XVIIIe — mais nos méthodes étaient différentes, et les deux approches ont enrichi les mathématiques.
| Date | Auteur | Contribution |
|---|---|---|
| vers –300 | Euclide (Alexandrie) | Nombres parfaits pairs, décomposition en premiers |
| IXe s. | Thābit ibn Qurra (Bagdad) | Règle pour les nombres amiables |
| vers 1000 | Ibn al-Haytham (Bassora/Le Caire) | Théorème de Wilson, tentative de preuve sur les parfaits |
| vers 1300 | Al-Farisi (Tabriz) | Démonstration de Thābit, factorisation, preuve de l’infinité des premiers |
| 1747 | Euler (Bâle/Saint-Pétersbourg) | Preuve complète : tout parfait pair = \(2^{n-1}(2^n-1)\) |
| 1770 | Wilson/Lagrange (Londres/Paris) | Redécouverte et preuve du théorème de Wilson |
Idée centrale : La théorie des nombres ne naît pas en Europe au XVIIIe siècle. Elle a une histoire riche dans le monde islamique médiéval, où Ibn al-Haytham et Al-Farisi ont découvert ou démontré des résultats attribués bien plus tard à des mathématiciens européens.