Note liminaire : Tout ce qui suit est une fiction narrative. Euclide et Ératosthène ne sont probablement pas contemporains (un demi-siècle les sépare). Les résultats mathématiques sont historiquement documentés ; la conversation est inventée.
Un nombre premier est un nombre entier supérieur à 1 qui n’est divisible que par 1 et par lui-même. Je les définis au livre VII de mes Éléments : ce sont les « atomes » de l’arithmétique — les briques élémentaires à partir desquelles tout nombre entier se construit par multiplication.
Les premiers sont : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31…
Remarquez : 2 est le seul premier pair. Tous les autres sont impairs.
Et la question naturelle qui se pose : comment les trouver ? Parmi les entiers de 1 à 100, lesquels sont premiers ? Tester chaque nombre un par un est fastidieux. J’ai inventé une méthode systématique — un tamis — qui les révèle tous d’un coup.
Le principe est simple. Écrivez tous les entiers de 2 à \(N\). Prenez le premier nombre non rayé — c’est 2 — et rayez tous ses multiples : 4, 6, 8, 10… Le nombre suivant non rayé est 3 — rayez ses multiples : 6, 9, 12, 15… Puis 5 (4 est déjà rayé), puis 7… Les nombres qui survivent au tamis sont les nombres premiers.
Voici le résultat du crible. Les nombres en bleu sont premiers ; les rayés sont composés.
15 nombres premiers entre 1 et 50.
Astuce clé : pour trouver tous les premiers jusqu'à \(N\), il suffit de rayer les multiples des premiers jusqu'à \(\sqrt{N}\). Pour \(N = 50\), on raye les multiples de 2, 3, 5 et 7 (car \(\sqrt{50} \approx 7{,}07\)). Après cela, tout nombre non rayé est nécessairement premier.
Pourquoi ? Si un nombre \(n \leqslant N\) est composé, il s'écrit \(n = ab\) avec \(a \leqslant b\). Alors \(a \leqslant \sqrt{n} \leqslant \sqrt{N}\), donc \(n\) a déjà été rayé comme multiple de \(a\).
Votre tamis est une merveille d’efficacité, Ératosthène. Mais il répond à la question « quels sont les premiers jusqu'à \(N\) ? ». Il ne répond pas à la question qui me hante : y en a-t-il une infinité ?
Note historique : Ératosthène de Cyrène (vers 276–194 av. J.-C.) est surtout connu pour sa mesure de la circonférence de la Terre, d’une précision remarquable. Il dirige la Bibliothèque d’Alexandrie — le plus grand centre de savoir du monde antique. Son crible est la première méthode algorithmique connue pour énumérer les nombres premiers.
C’est la proposition 20 du livre IX de mes Éléments. L’idée est d’une simplicité désarmante.
Supposons, pour obtenir une contradiction, qu’il n’existe qu’un nombre fini de nombres premiers. Appelons-les \(p_1, p_2, \ldots, p_n\) — c’est la liste complète.
Considérons le nombre :
C’est le produit de tous les nombres premiers, plus 1.
Maintenant, observons. Aucun des \(p_i\) ne divise \(N\). En effet, si \(p_i\) divisait \(N\), alors \(p_i\) diviserait \(N - p_1 \cdots p_n = 1\). Or aucun premier ne divise 1. Contradiction.
Donc \(N\) n’est divisible par aucun des premiers de notre liste. Mais tout entier supérieur à 1 admet au moins un diviseur premier (par décomposition). Donc \(N\) admet un diviseur premier qui n’est pas dans la liste.
On a supposé que la liste était complète, et on a trouvé un premier qui n’y figure pas. Contradiction. Donc la liste ne peut pas être finie. ∎
Ce qui me frappe, c’est que vous ne construisez pas un nouveau premier — vous montrez seulement qu’il doit en exister un en dehors de la liste. C’est un raisonnement par l’absurde d’une élégance pure.
Note historique : La proposition IX.20 des Éléments est souvent présentée comme une preuve « par l’absurde ». En réalité, le texte original d’Euclide est légèrement différent : il montre directement que, étant donnée une liste finie de premiers, on peut toujours en construire un nouveau. C’est une preuve constructive autant qu’une preuve par contradiction.
Attention : le nombre \(N = p_1 \times p_2 \times \cdots \times p_n + 1\) n’est pas nécessairement premier lui-même ! Euclide dit seulement qu’il admet un diviseur premier absent de la liste.
Exemple : les 6 premiers nombres premiers sont 2, 3, 5, 7, 11, 13.
\(N\) n’est pas premier ! Mais ses facteurs 59 et 509 ne sont pas dans la liste \(\{2, 3, 5, 7, 11, 13\}\) — ce sont de « nouveaux » premiers, exactement comme l’annonce le théorème.
Mon théorème dit qu’il y a une infinité de premiers, mais il ne dit pas à quelle vitesse ils apparaissent. Les nombres premiers deviennent-ils de plus en plus rares ? La réponse est oui — mais lentement.
Si vous appliquez mon crible jusqu'à \(N\), vous pouvez compter les premiers. Voici ce qu’on observe :
| \(N\) | Nombres premiers \(\leqslant N\) | \(N / \ln N\) (estimation) |
|---|---|---|
| 100 | 25 | 22 |
| 1 000 | 168 | 145 |
| 10 000 | 1 229 | 1 086 |
| 1 000 000 | 78 498 | 72 382 |
La colonne de droite montre une approximation remarquable : le nombre de premiers inférieurs à \(N\) est environ \(\dfrac{N}{\ln N}\). C’est le théorème des nombres premiers, conjecturé par Gauss (1792) et démontré indépendamment par Hadamard et de la Vallée-Poussin en 1896.
En termes simples : en moyenne, un nombre de \(d\) chiffres a environ 1 chance sur \(2{,}3 \times d\) d'être premier. Les premiers deviennent plus rares, mais ne s'épuisent jamais.
Énormément ! Voici les plus célèbres :
Avec mon crible et votre preuve, nous avons ouvert une porte. Vingt-trois siècles plus tard, cette porte mène à un couloir dont on ne voit pas la fin.
| Notion | Ératosthène | Euclide |
|---|---|---|
| Question | Quels sont les premiers jusqu'à \(N\) ? | Y en a-t-il une infinité ? |
| Méthode | Crible (algorithmique) | Preuve par l’absurde |
| Type de résultat | Constructif (produit une liste) | Existentiel (prouve qu’il en existe toujours plus) |
| Au programme | Maths Expertes, ch. 10 | Maths Expertes, ch. 10 |
Idée centrale : Les nombres premiers sont les « atomes » des entiers. Le crible d'Ératosthène les trouve, le théorème d’Euclide prouve qu’on ne les trouvera jamais tous. Ces deux résultats, vieux de 2 300 ans, restent les piliers de la théorie des nombres.