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Exercices — Dérivation

Première — Chapitre 4

Exercices — Dérivation

Taux de variation, nombre dérivé, tangente et calcul de dérivées

Progression :
0 / 8
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1

Taux de variation

★☆☆ Facile
  1. Soit \(f(x) = x^2 - 3x + 1\). Calculer le taux de variation de \(f\) entre \(x = 1\) et \(x = 4\).
  2. Soit \(g(x) = \dfrac{1}{x}\). Calculer le taux de variation de \(g\) entre \(x = 2\) et \(x = 5\).
  3. Soit \(h(x) = 2x^2 + x\). Calculer le taux de variation de \(h\) entre \(a\) et \(a + h\) (avec \(h \neq 0\)), puis simplifier l’expression obtenue.
  4. Interpréter géométriquement le résultat de la question 1.
Correction
  1. \(\dfrac{f(4)-f(1)}{4-1} = \dfrac{(16-12+1)-(1-3+1)}{3} = \dfrac{5-(-1)}{3} = \dfrac{6}{3} = 2\)
  2. \(\dfrac{g(5)-g(2)}{5-2} = \dfrac{\frac{1}{5}-\frac{1}{2}}{3} = \dfrac{\frac{2-5}{10}}{3} = \dfrac{-3/10}{3} = -\dfrac{1}{10}\)
  3. \(\dfrac{h(a+h)-h(a)}{h} = \dfrac{2(a+h)^2+(a+h) - 2a^2 - a}{h} = \dfrac{4ah+2h^2+h}{h} = 4a+2h+1\)
  4. La droite passant par \(A(1, -1)\) et \(B(4, 5)\) a pour pente 2. C’est la sécante à la courbe \(\mathcal{C}_f\) entre ces deux points.
2

Nombre dérivé par la définition

★★☆ Intermédiaire

Calculer le nombre dérivé des fonctions suivantes en utilisant la définition \(f'(a) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\).

  1. \(f(x) = x^2 + 2x\) en \(a = 3\)
  2. \(g(x) = x^3\) en \(a = 2\)
  3. \(h(x) = \sqrt{x}\) en \(a = 4\) (indication : multiplier par la quantité conjuguée)
  4. \(k(x) = \dfrac{1}{x+1}\) en \(a = 1\)
Correction
  1. \(\dfrac{(3+h)^2+2(3+h)-(9+6)}{h} = \dfrac{9+6h+h^2+6+2h-15}{h} = \dfrac{8h+h^2}{h} = 8+h \xrightarrow[h\to 0]{} 8\). Donc \(f'(3) = 8\).
  2. \(\dfrac{(2+h)^3-8}{h} = \dfrac{8+12h+6h^2+h^3-8}{h} = 12+6h+h^2 \xrightarrow[h\to 0]{} 12\). Donc \(g'(2) = 12\).
  3. \(\dfrac{\sqrt{4+h}-2}{h} = \dfrac{(\sqrt{4+h}-2)(\sqrt{4+h}+2)}{h(\sqrt{4+h}+2)} = \dfrac{4+h-4}{h(\sqrt{4+h}+2)} = \dfrac{1}{\sqrt{4+h}+2} \xrightarrow[h\to 0]{} \dfrac{1}{4}\). Donc \(h'(4) = \dfrac{1}{4}\).
  4. \(\dfrac{\frac{1}{2+h}-\frac{1}{2}}{h} = \dfrac{\frac{2-(2+h)}{2(2+h)}}{h} = \dfrac{-1}{2(2+h)} \xrightarrow[h\to 0]{} -\dfrac{1}{4}\). Donc \(k'(1) = -\dfrac{1}{4}\).
3

Équation de tangente

★☆☆ Facile

Pour chaque fonction, déterminer l’équation de la tangente à sa courbe au point indiqué.

  1. \(f(x) = x^2\) au point d’abscisse \(a = -2\)
  2. \(g(x) = x^3 - x\) au point d’abscisse \(a = 1\)
  3. \(h(x) = \sqrt{x}\) au point d’abscisse \(a = 9\)
  4. \(k(x) = \dfrac{1}{x}\) au point d’abscisse \(a = 2\)
Correction
  1. \(f'(x) = 2x\) donc \(f'(-2) = -4\). \(f(-2) = 4\). Tangente : \(y = 4 + (-4)(x+2) = -4x - 4\).
  2. \(g'(x) = 3x^2-1\) donc \(g'(1) = 2\). \(g(1) = 0\). Tangente : \(y = 0 + 2(x-1) = 2x - 2\).
  3. \(h'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\) donc \(h'(9) = \dfrac{1}{6}\). \(h(9) = 3\). Tangente : \(y = 3 + \dfrac{1}{6}(x-9) = \dfrac{x}{6} + \dfrac{3}{2}\).
  4. \(k'(x) = -\dfrac{1}{x^2}\) donc \(k'(2) = -\dfrac{1}{4}\). \(k(2) = \dfrac{1}{2}\). Tangente : \(y = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4}(x-2) = -\dfrac{x}{4} + 1\).
4

Dérivées des fonctions usuelles

★☆☆ Facile

Calculer la dérivée de chaque fonction (sans utiliser les règles de somme/produit/quotient).

  1. \(f(x) = 5x^3\)
  2. \(g(x) = -2x^4 + 7x^2 - x + 3\)
  3. \(h(x) = \dfrac{3}{x^2}\)
  4. \(k(x) = 4\sqrt{x} - \dfrac{2}{x}\)
  5. \(l(x) = e^x - \ln x + \cos x\)
Correction
  1. \(f'(x) = 15x^2\)
  2. \(g'(x) = -8x^3 + 14x - 1\)
  3. \(h(x) = 3x^{-2}\) donc \(h'(x) = -6x^{-3} = -\dfrac{6}{x^3}\)
  4. \(k'(x) = \dfrac{4}{2\sqrt{x}} + \dfrac{2}{x^2} = \dfrac{2}{\sqrt{x}} + \dfrac{2}{x^2}\)
  5. \(l'(x) = e^x - \dfrac{1}{x} - \sin x\)
5

Dérivée d’un produit

★★☆ Intermédiaire

Calculer la dérivée de chaque fonction en utilisant la règle \((uv)' = u'v + uv'\).

  1. \(f(x) = (x^2 + 1)(3x - 2)\)
  2. \(g(x) = (2x - 5)(x^3 + x)\)
  3. \(h(x) = x^2 e^x\)
  4. \(k(x) = (x + 1)\sqrt{x}\)
  5. \(l(x) = x \ln x\)
Correction
  1. \(u = x^2+1, u' = 2x, v = 3x-2, v' = 3\)
    \(f'(x) = 2x(3x-2) + (x^2+1)(3) = 6x^2-4x+3x^2+3 = 9x^2-4x+3\)
  2. \(u = 2x-5, u' = 2, v = x^3+x, v' = 3x^2+1\)
    \(g'(x) = 2(x^3+x)+(2x-5)(3x^2+1) = 2x^3+2x+6x^3+2x-15x^2-5 = 8x^3-15x^2+4x-5\)
  3. \(u = x^2, u' = 2x, v = e^x, v' = e^x\)
    \(h'(x) = 2xe^x + x^2e^x = e^x(2x+x^2) = x(x+2)e^x\)
  4. \(u = x+1, u' = 1, v = \sqrt{x}, v' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\)
    \(k'(x) = \sqrt{x} + \dfrac{x+1}{2\sqrt{x}} = \dfrac{2x+x+1}{2\sqrt{x}} = \dfrac{3x+1}{2\sqrt{x}}\)
  5. \(u = x, u' = 1, v = \ln x, v' = \dfrac{1}{x}\)
    \(l'(x) = \ln x + x \cdot \dfrac{1}{x} = \ln x + 1\)
6

Dérivée d’un quotient

★★☆ Intermédiaire

Calculer la dérivée de chaque fonction en utilisant la règle \(\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}\).

  1. \(f(x) = \dfrac{x+1}{x-2}\) (sur \(\mathbb{R} \setminus \{2\}\))
  2. \(g(x) = \dfrac{x^2}{x^2+1}\)
  3. \(h(x) = \dfrac{e^x}{x}\) (sur \(\mathbb{R}^*\))
  4. \(k(x) = \dfrac{\sqrt{x}}{x+1}\) (sur \(]0, +\infty[\))
Correction
  1. \(u = x+1, u' = 1, v = x-2, v' = 1\)
    \(f'(x) = \dfrac{(x-2)-(x+1)}{(x-2)^2} = \dfrac{-3}{(x-2)^2}\)
  2. \(u = x^2, u' = 2x, v = x^2+1, v' = 2x\)
    \(g'(x) = \dfrac{2x(x^2+1)-x^2 \cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \dfrac{2x}{(x^2+1)^2}\)
  3. \(u = e^x, u' = e^x, v = x, v' = 1\)
    \(h'(x) = \dfrac{xe^x - e^x}{x^2} = \dfrac{e^x(x-1)}{x^2}\)
  4. \(u = \sqrt{x}, u' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}, v = x+1, v' = 1\)
    \(k'(x) = \dfrac{\frac{x+1}{2\sqrt{x}} - \sqrt{x}}{(x+1)^2} = \dfrac{\frac{x+1-2x}{2\sqrt{x}}}{(x+1)^2} = \dfrac{1-x}{2\sqrt{x}(x+1)^2}\)
7

Dérivée de \(g(ax+b)\) et règle de la chaîne

★★☆ Intermédiaire

Calculer la dérivée de chaque fonction.

  1. \(f(x) = (3x+1)^4\)
  2. \(g(x) = \sqrt{2x-5}\)
  3. \(h(x) = e^{4x-1}\)
  4. \(k(x) = \sin(2x)\)
  5. \(l(x) = \ln(x^2+1)\) — règle de la chaîne avec \(u(x) = x^2+1\)
  6. \(m(x) = e^{x^2}\) — règle de la chaîne avec \(u(x) = x^2\)
Correction
  1. \(g(u) = u^4\), \(a = 3\) : \(f'(x) = 3 \times 4(3x+1)^3 = 12(3x+1)^3\)
  2. \(g(u) = \sqrt{u}\), \(a = 2\) : \(g'(x) = \dfrac{2}{2\sqrt{2x-5}} = \dfrac{1}{\sqrt{2x-5}}\)
  3. \(g(u) = e^u\), \(a = 4\) : \(h'(x) = 4e^{4x-1}\)
  4. \(g(u) = \sin u\), \(a = 2\) : \(k'(x) = 2\cos(2x)\)
  5. \(u(x) = x^2+1\), \(u'(x) = 2x\), \(g(u) = \ln u\), \(g'(u) = \dfrac{1}{u}\) : \(l'(x) = \dfrac{2x}{x^2+1}\)
  6. \(u(x) = x^2\), \(u'(x) = 2x\), \(g(u) = e^u\), \(g'(u) = e^u\) : \(m'(x) = 2x \cdot e^{x^2}\)
8

Problème — Tangente et interprétation

★★★ Difficile

Soit \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 1\) définie sur \(\mathbb{R}\).

  1. Calculer \(f'(x)\).
  2. Déterminer les points de la courbe \(\mathcal{C}_f\) où la tangente est horizontale (pente nulle).
  3. Écrire l’équation de la tangente à \(\mathcal{C}_f\) au point d’abscisse \(x = 2\).
  4. Existe-t-il un point de \(\mathcal{C}_f\) où la tangente est parallèle à la droite \(d : y = 9x - 5\) ? Si oui, lequel ?
  5. En physique, si \(f(t)\) représente la position d’un mobile en mètres à l’instant \(t\) (en secondes), quelle est la signification de \(f'(t)\) ? Calculer la vitesse à \(t = 1\) et \(t = 3\).
Correction
  1. \(f'(x) = 3x^2 - 6x\)
  2. Tangente horizontale ⟺ \(f'(x) = 0\) ⟺ \(3x^2-6x = 0\) ⟺ \(3x(x-2) = 0\) ⟺ \(x = 0\) ou \(x = 2\). Points : \(A(0, 1)\) et \(B(2, f(2)) = B(2, 8-12+1) = B(2, -3)\).
  3. \(f'(2) = 12-12 = 0\) et \(f(2) = -3\). Tangente : \(y = -3 + 0(x-2) = -3\). C’est la droite horizontale \(y = -3\).
  4. La droite \(d\) a pour pente 9. On cherche \(x\) tel que \(f'(x) = 9\) : \(3x^2-6x = 9\) ⟺ \(x^2-2x-3 = 0\) ⟺ \((x-3)(x+1) = 0\). Solutions : \(x = 3\) ou \(x = -1\). Points : \(C(3, f(3)) = C(3, 1)\) et \(D(-1, f(-1)) = D(-1, -1-3+1) = D(-1, -3)\).
  5. \(f'(t)\) représente la vitesse instantanée du mobile à l’instant \(t\) (en m/s). À \(t=1\) : \(f'(1) = 3-6 = -3\) m/s (le mobile recule). À \(t=3\) : \(f'(3) = 27-18 = 9\) m/s (le mobile avance à 9 m/s).

📚 Exercices complémentaires (8)

Sélection issue de la banque Math@mine + manuel Sésamath (ouvert). Corrigés dépliables.

Exo 1 Exercice Exercice 1
Exercice — Taux de variation
  1. Soit \(f(x) = x^2 - 3x + 1\). Calculer le taux de variation de \(f\) entre \(x = 1\) et \(x = 4\).
  2. Soit \(g(x) = \dfrac{1}{x}\). Calculer le taux de variation de \(g\) entre \(x = 2\) et \(x = 5\).
  3. Soit \(h(x) = 2x^2 + x\). Calculer le taux de variation de \(h\) entre \(a\) et \(a + h\) (avec \(h \neq 0\)), puis simplifier l'expression obtenue.
  4. Interpréter géométriquement le résultat de la question 1.
Voir la correction
Correction
  1. \(\dfrac{f(4)-f(1)}{4-1} = \dfrac{(16-12+1)-(1-3+1)}{3} = \dfrac{5-(-1)}{3} = \dfrac{6}{3} = 2\).
  2. \(\dfrac{g(5)-g(2)}{5-2} = \dfrac{\frac{1}{5}-\frac{1}{2}}{3} = \dfrac{-\frac{3}{10}}{3} = -\dfrac{1}{10}\).
  3. \(\dfrac{h(a+h)-h(a)}{h} = \dfrac{2(a+h)^2+(a+h) - 2a^2 - a}{h} = \dfrac{4ah+2h^2+h}{h} = 4a+2h+1\).
  4. La droite passant par \(A(1,\,-1)\) et \(B(4,\,5)\) a pour pente 2. C'est la sécante à la courbe \(\mathcal{C}_f\) entre ces deux points.
Exo 2 Exercice Exercice 2
Exercice — Nombre dérivé par la définition

Calculer le nombre dérivé des fonctions suivantes en utilisant la définition \(f'(a) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\).

  1. \(f(x) = x^2 + 2x\) en \(a = 3\)
  2. \(g(x) = x^3\) en \(a = 2\)
  3. \(h(x) = \sqrt{x}\) en \(a = 4\) (indication : multiplier par la quantité conjuguée)
  4. \(k(x) = \dfrac{1}{x+1}\) en \(a = 1\)
Voir la correction
Correction
  1. \(\dfrac{(3+h)^2+2(3+h)-(9+6)}{h} = \dfrac{8h+h^2}{h} = 8+h \xrightarrow[h\to 0]{} 8\). Donc \(f'(3) = 8\).
  2. \(\dfrac{(2+h)^3-8}{h} = \dfrac{12h+6h^2+h^3}{h} = 12+6h+h^2 \xrightarrow[h\to 0]{} 12\). Donc \(g'(2) = 12\).
  3. \(\dfrac{\sqrt{4+h}-2}{h} = \dfrac{(\sqrt{4+h}-2)(\sqrt{4+h}+2)}{h(\sqrt{4+h}+2)} = \dfrac{1}{\sqrt{4+h}+2} \xrightarrow[h\to 0]{} \dfrac{1}{4}\). Donc \(h'(4) = \dfrac{1}{4}\).
  4. \(\dfrac{\frac{1}{2+h}-\frac{1}{2}}{h} = \dfrac{-1}{2(2+h)} \xrightarrow[h\to 0]{} -\dfrac{1}{4}\). Donc \(k'(1) = -\dfrac{1}{4}\).
Exo 3 Exercice Exercice 3
Exercice — Équation de tangente

Pour chaque fonction, déterminer l'équation de la tangente à sa courbe au point indiqué.

  1. \(f(x) = x^2\) au point d'abscisse \(a = -2\)
  2. \(g(x) = x^3 - x\) au point d'abscisse \(a = 1\)
  3. \(h(x) = \sqrt{x}\) au point d'abscisse \(a = 9\)
  4. \(k(x) = \dfrac{1}{x}\) au point d'abscisse \(a = 2\)
Voir la correction
Correction
  1. \(f'(x) = 2x\) donc \(f'(-2) = -4\). \(f(-2) = 4\). Tangente : \(y = 4 + (-4)(x+2) = -4x - 4\).
  2. \(g'(x) = 3x^2-1\) donc \(g'(1) = 2\). \(g(1) = 0\). Tangente : \(y = 2(x-1) = 2x - 2\).
  3. \(h'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\) donc \(h'(9) = \dfrac{1}{6}\). \(h(9) = 3\). Tangente : \(y = 3 + \dfrac{1}{6}(x-9) = \dfrac{x}{6} + \dfrac{3}{2}\).
  4. \(k'(x) = -\dfrac{1}{x^2}\) donc \(k'(2) = -\dfrac{1}{4}\). \(k(2) = \dfrac{1}{2}\). Tangente : \(y = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4}(x-2) = -\dfrac{x}{4} + 1\).
Exo 4 Exercice Exercice 4
Exercice — Dérivées des fonctions usuelles

Calculer la dérivée de chaque fonction.

  1. \(f(x) = 5x^3\)
  2. \(g(x) = -2x^4 + 7x^2 - x + 3\)
  3. \(h(x) = \dfrac{3}{x^2}\)
  4. \(k(x) = 4\sqrt{x} - \dfrac{2}{x}\)
  5. \(l(x) = e^x - \ln x + \cos x\)
Voir la correction
Correction
  1. \(f'(x) = 15x^2\).
  2. \(g'(x) = -8x^3 + 14x - 1\).
  3. \(h(x) = 3x^{-2}\) donc \(h'(x) = -6x^{-3} = -\dfrac{6}{x^3}\).
  4. \(k'(x) = \dfrac{4}{2\sqrt{x}} + \dfrac{2}{x^2} = \dfrac{2}{\sqrt{x}} + \dfrac{2}{x^2}\).
  5. \(l'(x) = e^x - \dfrac{1}{x} - \sin x\).
Exo 5 Exercice Exercice 5
Exercice — Dérivée d'un produit

Calculer la dérivée de chaque fonction en utilisant la règle \((uv)' = u'v + uv'\).

  1. \(f(x) = (x^2 + 1)(3x - 2)\)
  2. \(g(x) = (2x - 5)(x^3 + x)\)
  3. \(h(x) = x^2 e^x\)
  4. \(k(x) = (x + 1)\sqrt{x}\)
  5. \(l(x) = x \ln x\)
Voir la correction
Correction
  1. \(f'(x) = 2x(3x-2) + (x^2+1)(3) = 6x^2-4x+3x^2+3 = 9x^2-4x+3\).
  2. \(g'(x) = 2(x^3+x)+(2x-5)(3x^2+1) = 2x^3+2x+6x^3+2x-15x^2-5 = 8x^3-15x^2+4x-5\).
  3. \(h'(x) = 2xe^x + x^2e^x = e^x(2x+x^2) = x(x+2)e^x\).
  4. \(k'(x) = \sqrt{x} + \dfrac{x+1}{2\sqrt{x}} = \dfrac{2x+x+1}{2\sqrt{x}} = \dfrac{3x+1}{2\sqrt{x}}\).
  5. \(l'(x) = \ln x + x \cdot \dfrac{1}{x} = \ln x + 1\).
Exo 6 Exercice Exercice 6
Exercice — Dérivée d'un quotient

Calculer la dérivée de chaque fonction en utilisant la règle \(\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}\).

  1. \(f(x) = \dfrac{x+1}{x-2}\) (sur \(\mathbb{R} \setminus \{2\}\))
  2. \(g(x) = \dfrac{x^2}{x^2+1}\)
  3. \(h(x) = \dfrac{e^x}{x}\) (sur \(\mathbb{R}^*\))
  4. \(k(x) = \dfrac{\sqrt{x}}{x+1}\) (sur \(]0,\,+\infty[\))
Voir la correction
Correction
  1. \(f'(x) = \dfrac{(x-2)-(x+1)}{(x-2)^2} = \dfrac{-3}{(x-2)^2}\).
  2. \(g'(x) = \dfrac{2x(x^2+1)-x^2 \cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \dfrac{2x}{(x^2+1)^2}\).
  3. \(h'(x) = \dfrac{xe^x - e^x}{x^2} = \dfrac{e^x(x-1)}{x^2}\).
  4. \(k'(x) = \dfrac{\frac{x+1}{2\sqrt{x}} - \sqrt{x}}{(x+1)^2} = \dfrac{1-x}{2\sqrt{x}(x+1)^2}\).
Exo 7 Exercice Exercice 7
Exercice — Dérivée de \(g(ax+b)\) et règle de la chaîne

Calculer la dérivée de chaque fonction.

  1. \(f(x) = (3x+1)^4\)
  2. \(g(x) = \sqrt{2x-5}\)
  3. \(h(x) = e^{4x-1}\)
  4. \(k(x) = \sin(2x)\)
  5. \(l(x) = \ln(x^2+1)\) — règle de la chaîne avec \(u(x) = x^2+1\)
  6. \(m(x) = e^{x^2}\) — règle de la chaîne avec \(u(x) = x^2\)
Voir la correction
Correction
  1. \(f'(x) = 3 \times 4(3x+1)^3 = 12(3x+1)^3\).
  2. \(g'(x) = \dfrac{2}{2\sqrt{2x-5}} = \dfrac{1}{\sqrt{2x-5}}\).
  3. \(h'(x) = 4e^{4x-1}\).
  4. \(k'(x) = 2\cos(2x)\).
  5. \(l'(x) = \dfrac{2x}{x^2+1}\).
  6. \(m'(x) = 2x \cdot e^{x^2}\).
Exo 8 Exercice Exercice 8
Exercice — Problème : tangente et interprétation

Soit \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 1\) définie sur \(\mathbb{R}\).

  1. Calculer \(f'(x)\).
  2. Déterminer les points de la courbe \(\mathcal{C}_f\) où la tangente est horizontale (pente nulle).
  3. Écrire l'équation de la tangente à \(\mathcal{C}_f\) au point d'abscisse \(x = 2\).
  4. Existe-t-il un point de \(\mathcal{C}_f\) où la tangente est parallèle à la droite \(d : y = 9x - 5\) ? Si oui, lequel ?
  5. En physique, si \(f(t)\) représente la position d'un mobile en mètres à l'instant \(t\) (en secondes), quelle est la signification de \(f'(t)\) ? Calculer la vitesse à \(t = 1\) et \(t = 3\).
Voir la correction
Correction
  1. \(f'(x) = 3x^2 - 6x\).
  2. Tangente horizontale \(\Leftrightarrow\) \(f'(x) = 0\) \(\Leftrightarrow\) \(3x(x-2) = 0\) \(\Leftrightarrow\) \(x = 0\) ou \(x = 2\). Points : \(A(0,\,1)\) et \(B(2,\,-3)\).
  3. \(f'(2) = 12-12 = 0\) et \(f(2) = -3\). Tangente : \(y = -3\). C'est la droite horizontale \(y = -3\).
  4. La droite \(d\) a pour pente 9. On cherche \(x\) tel que \(f'(x) = 9\) : \(3x^2-6x = 9\) soit \(x^2-2x-3 = 0\), d'où \((x-3)(x+1) = 0\). Solutions : \(x = 3\) et \(x = -1\). Points : \(C(3,\,1)\) et \(D(-1,\,-3)\).
  5. \(f'(t)\) représente la vitesse instantanée du mobile (en m/s). À \(t=1\) : \(f'(1) = 3-6 = -3\)~m/s (le mobile recule). À \(t=3\) : \(f'(3) = 27-18 = 9\)~m/s.

Non-dérivabilité — Point anguleux

⭐⭐ Approfondissement · Limite et taux d'accroissement

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = |x - 2|\) (valeur absolue de \(x - 2\)).

  1. Tracer la courbe représentative de \(f\) sur l'intervalle \([0, 4]\).
  2. Pour \(x > 2\), exprimer \(f(x)\) sans valeur absolue, puis calculer \(f'(x)\). Même question pour \(x < 2\).
  3. Calculer la limite à droite : \(\displaystyle\lim_{h \to 0^+} \dfrac{f(2+h) - f(2)}{h}\).
  4. Calculer la limite à gauche : \(\displaystyle\lim_{h \to 0^-} \dfrac{f(2+h) - f(2)}{h}\).
  5. En déduire que \(f\) n'est pas dérivable en 2. Comment se traduit géométriquement cette non-dérivabilité ?
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Correction
  1. La courbe est en forme de « V » avec sommet en \((2, 0)\) : deux demi-droites de pentes \(-1\) (à gauche) et \(+1\) (à droite).
  2. Pour \(x > 2\) : \(f(x) = x - 2\), donc \(f'(x) = 1\). Pour \(x < 2\) : \(f(x) = -(x-2) = 2 - x\), donc \(f'(x) = -1\).
  3. Pour \(h > 0\) : \(f(2+h) = h\) et \(f(2) = 0\), donc le taux vaut \(\frac{h}{h} = 1\). La limite à droite vaut \(\boxed{1}\).
  4. Pour \(h < 0\) : \(f(2+h) = -h\), donc le taux vaut \(\frac{-h}{h} = -1\). La limite à gauche vaut \(\boxed{-1}\).
  5. Les limites à gauche et à droite étant différentes (\(-1 \neq 1\)), le taux d'accroissement n'a pas de limite en \(0\). Donc \(f\) n'est pas dérivable en 2. Géométriquement : la courbe présente un point anguleux en \((2, 0)\) — il n'y a pas de tangente unique en ce point.