Rappel : \(v\) et \(v'\) vitesses de A et B avec \(v < v'\), \(R = v/v' \in ]0,1[\), \(n \geq 2\) boucles de longueur \(L/n\).
Partie 1 — Cas particuliers
Question 1
Avance de B sur A après 1h et après 3h.
L’avance de B sur A après \(t\) heures vaut \((v'-v) \times t = (12-7) \times t = 5t\) km.
Après 1 heure : \(5 \times 1 = \)5 km
Après 3 heures : \(5 \times 3 = \)15 km
Question 2
Avance de B sur A quand B franchit l’arrivée.
B termine en \(t = \dfrac{42}{12} = 3{,}5\) heures.
Distance parcourue par A : \(7 \times 3{,}5 = 24{,}5\) km.
Avance de B : \(42 - 24{,}5 = \)17,5 km
Question 3
Nombre de doublements pour les trois parcours (\(R = 7/12\)).
\(R = \dfrac{7}{12} \approx 0{,}583\).
a) \(n=2\) boucles de 21 km :
\(1 - \dfrac{1}{2} = 0{,}5 < \dfrac{7}{12}\) donc B ne double pas A. 0 doublement
b) \(n=3\) boucles de 14 km :
\(1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3} \approx 0{,}667 > \dfrac{7}{12}\) → B double au moins 1 fois.
\(1 - \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3} \approx 0{,}333 < \dfrac{7}{12}\) → B ne double pas 2 fois. 1 doublement
c) \(n=14\) boucles de 3 km :
\(1 - \dfrac{k}{14} \geq \dfrac{7}{12} \Leftrightarrow k \leq 14 \times \dfrac{5}{12} \approx 5{,}83\), donc \(k \leq 5\).
\(1 - \dfrac{6}{14} = \dfrac{4}{7} \approx 0{,}571 < \dfrac{7}{12}\) → B ne double pas 6 fois. 5 doublements
Question 4
\(v=6\), \(v'=8\), 4 boucles de 10,5 km. Vérifier que B double A exactement à l’arrivée.
\(R = \dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}\), \(n = 4\).
On cherche \(k\) tel que \(R = 1 - k/n\) :
\(\dfrac{3}{4} = 1 - \dfrac{k}{4} \Leftrightarrow k = 1\).
B double A pour la 1ère fois à l’instant \(t_1\) où \((v'-v)t_1 = L/n\) :
\(t_1 = \dfrac{L/4}{2} = \dfrac{L}{8}\).
À cet instant, B a parcouru \(8 \times \dfrac{L}{8} = L\) : B est exactement à l’arrivée. ✓
Partie 2 — Cas général
Question 5
Si B double au moins \(k\) fois A alors \(R \leq 1 - k/n\).
B double A pour la \(k\)-ième fois à l’instant \(t_k\) vérifiant \((v'-v)t_k = \dfrac{kL}{n}\).
Donc \(t_k = \dfrac{kL}{n(v'-v)}\).
Pour que ce \(k\)-ième doublement ait lieu avant la fin de la course, B ne doit pas encore avoir terminé :
\(v't_k \leq L \Rightarrow \dfrac{kv'L}{n(v'-v)} \leq L\)
\(\Rightarrow kv' \leq n(v'-v)\)
\(\Rightarrow kv' \leq nv' - nv\)
\(\Rightarrow nv \leq (n-k)v'\)
\(\Rightarrow R = \dfrac{v}{v'} \leq \dfrac{n-k}{n} = 1 - \dfrac{k}{n}\). ✓
Question 6
La réciproque est-elle vraie ?
Non. La réciproque est fausse.
Contre-exemple (question 4) : \(R = 3/4\), \(n=4\), \(k=1\).
On a \(R = 1 - 1/4\) mais B double A exactement à l’instant où il franchit l’arrivée.
Selon la définition, ce doublement se produit au dernier instant de la course — si l’on considère que le doublement doit avoir lieu strictement pendant la course, ce n’est pas un vrai doublement.
Donc \(R \leq 1 - k/n\) ne suffit pas à garantir \(k\) doublements. ✓
Question 7
\(v'=10\) km/h, \(n=5\), B double au moins 4 fois A. Vitesse maximale de A ?
Par la question 5 avec \(k=4\), \(n=5\) :
\(R \leq 1 - \dfrac{4}{5} = \dfrac{1}{5}\)
\(\dfrac{v}{10} \leq \dfrac{1}{5}\)
\(v \leq 2\) km/h.
Vitesse maximale de A : 2 km/h
Question 8
\(v' = 3v\), B double au moins 7 fois. Nombre minimal de boucles ?
\(R = v/3v = 1/3\).
Par la question 5 : \(\dfrac{1}{3} \leq 1 - \dfrac{7}{n}\)
\(\dfrac{7}{n} \leq \dfrac{2}{3}\)
\(n \geq \dfrac{21}{2} = 10{,}5\)
Donc \(n \geq 11\).
Nombre minimal de boucles : 11
Question 9
Si B double au plus \(k\) fois A alors \(R > 1 - (k+1)/n\).
On raisonne par contraposée.
Supposons que \(R \leq 1 - \dfrac{k+1}{n}\).
Par la question 5 appliquée avec \(k+1\) à la place de \(k\), B double au moins \(k+1\) fois A.
Donc B ne double pas « au plus \(k\) fois ».
Par contraposée : si B double au plus \(k\) fois, alors \(R > 1 - \dfrac{k+1}{n}\). ✓
Question 10
Marathon vs semi-marathon, même nombre de boucles. Quelle course privilégier ?
D’après les questions 5 et 9, le nombre de tours pris par B est le plus grand entier \(k\) tel que \(R < 1 - k/n\) (strictement, cas générique).
Ce nombre ne dépend que de \(R\) et \(n\), et pas de \(L\).
Donc marathon (\(L=42\) km) et semi-marathon (\(L=21\) km) avec le même \(n\) donnent le même nombre de tours. B n’a aucune raison de préférer l’une des deux courses.
Question 11
10000 m sur piste de 400 m, B prend 2 tours à A. Encadrer \(R\).
\(n = 10000/400 = 25\) boucles, B prend exactement 2 tours (\(k=2\)).
Encadrement de \(R_1\) (B prend 2 tours à A, \(n=10\)) :
Q5 (\(k=2\)) : \(R_1 \leq 1 - 2/10 = 8/10\)
Q9 (\(k=2\)) : \(R_1 > 1 - 3/10 = 7/10\)
Donc \(7/10 < R_1 \leq 8/10\).
Encadrement de \(R_2\) (C prend 1 tour à B, \(n=10\)) :
Q5 (\(k=1\)) : \(R_2 \leq 1 - 1/10 = 9/10\)
Q9 (\(k=1\)) : \(R_2 > 1 - 2/10 = 8/10\)
Donc \(8/10 < R_2 \leq 9/10\).
Produit par la question 12 :
\(R_{AC} = R_1 \times R_2 > \dfrac{7}{10} \times \dfrac{8}{10} = \dfrac{56}{100}\)
\(R_{AC} = R_1 \times R_2 \leq \dfrac{8}{10} \times \dfrac{9}{10} = \dfrac{72}{100}\)
Donc \(R_{AC} \in \left]\dfrac{56}{100} ; \dfrac{72}{100}\right]\). ✓
Question 14
\(n+1\) individus, \(n\) boucles, chacun prend 1 tour au suivant. Encadrer le rapport vitesse lente/vitesse rapide.
Notons \(v_1 < v_2 < \cdots < v_{n+1}\) et \(R_i = v_i/v_{i+1}\) pour \(i = 1, \ldots, n\).
L’individu \(i+1\) prend 1 tour à l’individu \(i\) : par Q5 et Q9 avec \(k=1\) :
\(1 - \dfrac{2}{n} < R_i \leq 1 - \dfrac{1}{n}\) pour tout \(i\).
Le rapport cherché est \(P = \dfrac{v_1}{v_{n+1}} = R_1 \times R_2 \times \cdots \times R_n\).
En appliquant la question 12 de façon répétée (\(n\) fois) :
\(\left(1-\dfrac{2}{n}\right)^n < P \leq \left(1-\dfrac{1}{n}\right)^n\)
L’inégalité droite est stricte car l’égalité \(R_i = 1-1/n\) pour tous les \(i\) impliquerait que chaque doublement se produit exactement à l’arrivée, cas exclu.
Donc \(P \in \left]\left(1-\dfrac{2}{n}\right)^n ; \left(1-\dfrac{1}{n}\right)^n\right[\). ✓
Remarque : pour \(n\) grand, \(\left(1-\dfrac{1}{n}\right)^n \to \dfrac{1}{e}\) et \(\left(1-\dfrac{2}{n}\right)^n \to \dfrac{1}{e^2}\).