Contexte : Deux individus A et B prennent simultanément le départ d’un marathon (42 km). A court à vitesse \(v\) km/h, B à vitesse \(v' > v\) km/h. On pose \(R = \dfrac{v}{v'} \in ]0,1[\). Le parcours est composé de \(n \geq 2\) boucles de même longueur.
Partie 1 — Cas particuliers (\(v = 7\) km/h, \(v' = 12\) km/h)
Question 1
Après une heure de course, quelle est l’avance de B sur A ? Après trois heures ?
L’avance de B sur A après \(t\) heures est \((v'-v) \times t\).
Question 2
Lorsque B franchit la ligne d’arrivée, quelle est son avance sur A ?
Calculer le temps mis par B pour parcourir 42 km, puis la distance parcourue par A pendant ce temps.
Question 3
B double-t-il A sur les parcours suivants ? a) 2 boucles de 21 km b) 3 boucles de 14 km c) 14 boucles de 3 km
B double A lorsqu’il a parcouru exactement une boucle de plus. Calculer \(R = 7/12\) et comparer avec \(1 - k/n\) pour différentes valeurs de \(k\).
Question 4
\(v=6\) km/h, \(v'=8\) km/h, 4 boucles de 10,5 km. Vérifier que B double A à l’instant exact où il franchit la ligne d’arrivée.
Calculer \(R = 6/8\) et vérifier que \(R = 1 - k/n\) pour un certain entier \(k\).
Partie 2 — Cas général
Question 5
Montrer que si B double au moins \(k\) fois A alors \(R \leq 1 - \dfrac{k}{n}\).
B double A pour la \(k\)-ième fois à l’instant \(t_k\) où \((v'-v)t_k = kL/n\). Pour que ce doublement ait lieu, il faut que B n’ait pas encore terminé : \(v't_k \leq L\). En déduire l’inégalité sur \(R\).
Question 6
La réciproque de la proposition précédente est-elle vraie ?
Chercher un contre-exemple avec \(R = 1 - k/n\) exactement (cas de la question 4).
Question 7
B court à 10 km/h, parcours à 5 boucles, B double au moins 4 fois A. Vitesse maximale de A ?
Appliquer \(R \leq 1 - k/n\) avec \(k=4\), \(n=5\), \(v'=10\). En déduire \(v\).
Question 8
B court 3 fois plus vite que A et double au moins 7 fois. Nombre minimal de boucles ?
\(R = 1/3\). Résoudre \(1/3 \leq 1 - 7/n\) pour trouver le plus petit \(n\) entier.
Question 9
Montrer que si B double au plus \(k\) fois A alors \(R > 1 - \dfrac{k+1}{n}\).
Raisonner par contraposée : si \(R \leq 1 - (k+1)/n\) alors par la question 5, B double au moins \(k+1\) fois.
Question 10
Marathon vs semi-marathon, même nombre de boucles. B doit-il privilégier l’une des deux courses ?
Le nombre de tours pris dépend-il de \(L\) ? Regarder les formules des questions 5 et 9.
Question 11
B prend 2 tours à A sur un 10000 m sur piste de 400 m. Encadrer au mieux \(R\).
\(n = 10000/400 = 25\) boucles. Utiliser les questions 5 et 9 avec \(k=2\).
Question 12
Soient \(a,b,c,d\) réels. Montrer que si \(0 < a < b\) et \(0 < c < d\) alors \(ac < bd\).
Multiplier \(a < b\) par \(c > 0\), puis comparer \(bc\) et \(bd\) en utilisant \(c < d\) et \(b > 0\).
Question 13
Parcours à 10 boucles. B prend 2 tours à A, C prend 1 tour à B. Montrer que \(R_{AC} \in \left]\dfrac{56}{100} ; \dfrac{72}{100}\right]\).
Poser \(R_1 = v_A/v_B\) et \(R_2 = v_B/v_C\). Encadrer chacun avec les questions 5 et 9, puis multiplier les encadrements grâce à la question 12.
Question 14
\(n+1\) individus sur \(n\) boucles, chacun prend un tour à celui qui le suit. Montrer que le rapport vitesse lente/vitesse rapide appartient à \(\left]\left(1-\dfrac{2}{n}\right)^n ; \left(1-\dfrac{1}{n}\right)^n\right[\).
Poser \(R_i = v_i/v_{i+1}\). Chaque \(R_i\) vérifie \(1-2/n < R_i \leq 1-1/n\). Le rapport total est \(R_1 \times \cdots \times R_n\). Appliquer la question 12 de façon répétée.