Hipparque est généralement considéré comme le fondateur de la trigonométrie. Astronome grec né vers 190 av. J.-C., il avait besoin d’un outil mathématique pour calculer les positions des astres. Il construisit le premier tableau de cordes — l’ancêtre de nos tables trigonométriques.
Dans un cercle de rayon \(R\), la corde d’un arc de mesure \(\theta\) est le segment reliant les deux extrémités de cet arc. Hipparque établit la relation :
$$\text{crd}(\theta) = 2R \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)$$
Il dressa un tableau donnant la valeur de cette corde pour des angles allant de 0° à 180° par pas de 7,5°. Ce travail colossal permit de calculer les éclipses avec une précision remarquable pour l’époque.
Ptolémée, astronome alexandrin, poussa l'œuvre d’Hipparque à son terme dans son traité monumental l’Almageste. Il y construisit un tableau de cordes complet avec un pas de 0,5° et démontra la célèbre formule de Ptolémée, dont la version moderne est :
$$\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$$
L'Almageste resta la référence astronomique mondiale pendant plus de mille ans.
Muhammad ibn Jâbir al-Battani, astronome arabe né vers 858 à Harran, accomplit une révolution conceptuelle majeure : il abandonna la notion de corde au profit du sinus. Il établit notamment :
$$\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1$$
Et formula la loi des sinus dans le triangle sphérique :
$$\frac{\sin a}{\sin A} = \frac{\sin b}{\sin B} = \frac{\sin c}{\sin C}$$
Al-Battani compila ses travaux dans le Kitâb al-Zîj, traduit en latin au XIIe siècle — une référence pour les astronomes européens jusqu’à Copernic.
Mathématicien et astronome persan né en 940, Abû al-Wafâ est le premier à avoir défini et utilisé systématiquement les six fonctions trigonométriques : sinus, cosinus, tangente, cotangente, sécante et cosécante. On lui doit la formule :
$$\sin(2A) = 2\sin A \cos A$$
Abu Rayhan al-Bîrûnî (973–1048), savant universel né à Khwarezm, utilisa la trigonométrie pour calculer le rayon de la Terre et développa la loi des cosinus sphériques :
$$\cos a = \cos b \cos c + \sin b \sin c \cos A$$
Il calcula la circonférence de la Terre avec une précision étonnante depuis une montagne du Pakistan. 📖 Article complet sur Al-Biruni →
Al-Tûsî fut le premier à traiter la trigonométrie comme une discipline mathématique indépendante de l’astronomie. Il formula la loi des sinus plane dans sa généralité :
$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$$
Cette loi, applicable à tout triangle, permit de résoudre des triangles quelconques à partir de données partielles.
Jamshîd al-Kâshî formula ce qu’on appelle aujourd’hui le théorème d’Al-Kâshî — connu ailleurs sous le nom de loi des cosinus :
$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$$
Cette formule généralise le théorème de Pythagore à tout triangle et est aujourd’hui au programme de Seconde.
Ali ibn Ibrahim ibn al-Shâtir, astronome syrien né en 1304 à Damas, développa des modèles planétaires d’une précision remarquable en s’appuyant sur une trigonométrie élaborée. Son système anticipait sur plusieurs points le modèle héliocentrique de Copernic, qui connaissait probablement ses travaux.
Johannes Müller, dit Regiomontanus (1436–1476), joua un rôle crucial dans la transmission du savoir arabe et persan vers l’Europe latine. Son traité De Triangulis Omnimodis fut le premier ouvrage européen à traiter la trigonométrie de façon systématique et indépendante.
Euler (1707–1783) unifia et formalisa la trigonométrie moderne en introduisant la notation actuelle : sin, cos, tan comme fonctions d’une variable réelle. Sa formule la plus célèbre :
$$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$$
Pour \(\theta = \pi\), on obtient la fameuse identité d’Euler :
$$e^{i\pi} + 1 = 0$$
Joseph Fourier (1768–1830) montra que toute fonction périodique peut être décomposée en une somme de fonctions sinusoïdales — c’est la série de Fourier :
$$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left(a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)\right)$$
Cette découverte est aujourd’hui à la base du traitement du signal, de la compression audio (MP3) et de l’imagerie médicale (IRM).
L’histoire de la trigonométrie illustre magnifiquement la nature universelle et cumulative des mathématiques. Des cordes d’Hipparque aux séries de Fourier, en passant par les savants arabes et persans qui ont joué un rôle central et souvent méconnu, chaque génération a transmis, enrichi et transformé un savoir commun à toute l’humanité.
La prochaine fois que vous calculez \(\sin(30°) = 0{,}5\) en classe, souvenez-vous qu’Al-Battani, Al-Kâshî et des dizaines d’autres ont consacré leur vie à rendre ce calcul possible.