Note liminaire : Tout ce qui suit est une fiction narrative. La découverte de l’irrationalité de √2 est historiquement documentée. L’attribution à Hippase et la légende de la noyade sont contestées par les historiens. La conversation est inventée.
Tout est nombre. Les intervalles musicaux sont des rapports d’entiers : l’octave est \(\frac{2}{1}\), la quinte est \(\frac{3}{2}\), la quarte est \(\frac{4}{3}\). Les orbites des planètes obéissent à des proportions harmonieuses. Les figures géométriques elles-mêmes reposent sur des rapports de grandeurs entières.
Pour nous, toute grandeur est commensurable : deux longueurs quelconques ont toujours une unité commune qui les mesure toutes les deux. Autrement dit, le rapport de deux longueurs est toujours une fraction \(\dfrac{p}{q}\).
Un nombre est rationnel s’il s'écrit sous la forme \(\dfrac{p}{q}\) avec \(p \in \mathbb{Z}\) et \(q \in \mathbb{N}^*\).
Exemples : \(\frac{3}{4}\), \(-\frac{7}{2}\), \(5 = \frac{5}{1}\), \(0{,}333\ldots = \frac{1}{3}\).
Un nombre est irrationnel s’il ne peut pas s'écrire sous cette forme. Son écriture décimale est infinie et non périodique.
Exemples : \(\sqrt{2} = 1{,}41421356\ldots\), \(\pi = 3{,}14159265\ldots\), \(e = 2{,}71828182\ldots\)
Les Pythagoriciens croyaient que tous les nombres étaient rationnels. Hippase va leur prouver le contraire.
Prenez un carré de côté 1. Par le théorème de Pythagore, sa diagonale vaut :
La question est : \(\sqrt{2}\) peut-il s'écrire comme une fraction \(\dfrac{p}{q}\) ? Si la doctrine pythagoricienne est vraie, la réponse devrait être oui.
J’ai démontré que la réponse est non.
Théorème : \(\sqrt{2}\) est irrationnel.
Preuve par l’absurde. Supposons que \(\sqrt{2}\) est rationnel. Alors il existe deux entiers \(p\) et \(q\), avec \(q \neq 0\), tels que :
On peut supposer la fraction irréductible (simplifiée au maximum). Donc \(p\) et \(q\) ne sont pas tous les deux pairs.
Étape 1 — Élever au carré.
Donc \(p^2\) est pair. Or le carré d’un nombre impair est impair (car \((2k+1)^2 = 4k^2+4k+1\) est impair). Donc \(p\) est pair.
Étape 2 — Écrire \(p = 2m\).
Puisque \(p\) est pair, on écrit \(p = 2m\). En substituant :
Donc \(q^2\) est pair, ce qui implique que \(q\) est pair (même argument).
Étape 3 — Contradiction.
\(p\) est pair et \(q\) est pair. Mais on avait supposé que la fraction \(\frac{p}{q}\) était irréductible ! Deux nombres pairs ont 2 comme diviseur commun — la fraction n'était pas irréductible.
Contradiction. L’hypothèse de départ (« \(\sqrt{2}\) est rationnel ») est donc fausse.
C’est… impossible. La diagonale d’un simple carré échappe aux nombres entiers et à leurs rapports ? Cela signifie que notre doctrine — « tout est nombre » — est fausse.
Non, elle est incomplète. Il existe des grandeurs qui ne peuvent pas s’exprimer comme des fractions. Votre univers de nombres est trop petit. Il faut l’agrandir.
Note historique : Selon la tradition (rapportée par Pappus et Iamblique), Hippase aurait été noyé en mer par ses condisciples pour avoir révélé ce résultat. Cette légende est probablement une invention tardive, mais elle illustre le choc intellectuel provoqué par la découverte. Ce qui est certain, c’est que la découverte de l’incommensurabilité a provoqué une crise profonde dans les mathématiques grecques.
J’ai construit une théorie des proportions (livre V des Éléments d’Euclide) qui permet de comparer des grandeurs sans avoir à les exprimer comme des fractions. L’idée : deux rapports \(\frac{a}{b}\) et \(\frac{c}{d}\) sont égaux si, pour tout couple d’entiers \(m, n\), les inégalités \(ma\) vs \(nb\) et \(mc\) vs \(nd\) vont dans le même sens.
C’est un raisonnement subtil qui préfigure, vingt-trois siècles à l’avance, la construction des nombres réels par Dedekind (1872).
La découverte des irrationnels a conduit, au fil des siècles, à construire l’ensemble \(\mathbb{R}\) des nombres réels :
| Ensemble | Contient | Exemple nouveau |
|---|---|---|
| \(\mathbb{N}\) | Entiers naturels | 0, 1, 2, 3… |
| \(\mathbb{Z}\) | + entiers négatifs | \(-3\) |
| \(\mathbb{Q}\) | + fractions | \(\frac{2}{3}\) |
| \(\mathbb{R}\) | + irrationnels | \(\sqrt{2}\), \(\pi\), \(e\) |
Sur la droite numérique, les rationnels sont denses (entre deux rationnels, il y en a toujours un autre), mais ils laissent des « trous ». Les irrationnels comblent ces trous. Ensemble, rationnels et irrationnels remplissent la droite sans laisser de vide — c’est la continuité de \(\mathbb{R}\).
Fait surprenant : il y a « beaucoup plus » d’irrationnels que de rationnels. Les rationnels sont dénombrables (on peut les lister) ; les irrationnels ne le sont pas (Cantor, 1874).
Loin de là ! La même preuve s’adapte pour montrer que \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{5}\), \(\sqrt{6}\)… sont irrationnels. En fait, \(\sqrt{n}\) est irrationnel dès que \(n\) n’est pas un carré parfait.
Supposons \(\sqrt{3} = \dfrac{p}{q}\) irréductible. Alors \(p^2 = 3q^2\), donc \(3 \mid p^2\).
Or si \(3\) ne divise pas \(p\), alors \(p = 3k \pm 1\), et \(p^2 = 9k^2 \pm 6k + 1 \equiv 1 \pmod{3}\). Donc \(3 \nmid p^2\). Contradiction. Donc \(3 \mid p\).
On écrit \(p = 3m\) : \(9m^2 = 3q^2\), soit \(q^2 = 3m^2\). Donc \(3 \mid q\). Contradiction avec l’irréductibilité. ∎
Le raisonnement est identique à celui de \(\sqrt{2}\), en remplaçant 2 par 3.
Et bien plus tard, on démontrera que \(\pi\) et \(e\) sont non seulement irrationnels, mais transcendants — ils ne sont racine d’aucune équation polynomiale à coefficients entiers. Mais cela, c’est une histoire du XIXe siècle (Hermite, 1873 pour \(e\) ; Lindemann, 1882 pour \(\pi\)).
J’ai eu tort de croire que l’univers se réduisait aux fractions. Mais j’ai eu raison de croire que les mathématiques révèlent la structure du réel. La découverte d’Hippase ne détruit pas les mathématiques — elle les agrandit.
Et la preuve par l’absurde — supposer le contraire et aboutir à une contradiction — est devenue l’une des méthodes les plus puissantes de toute la mathématique. Euclide l’utilisera pour prouver l’infinité des nombres premiers. Al-Karajī l’utilisera pour la récurrence. Cantor l’utilisera pour montrer que les réels sont indénombrables. Tout part de notre petit carré de côté 1.
| Date | Auteur | Contribution |
|---|---|---|
| Ve s. av. J.-C. | Hippase (Crotone) | Découvre l’irrationalité de \(\sqrt{2}\) |
| IVe s. av. J.-C. | Eudoxe (Cnide) | Théorie des proportions (livre V d’Euclide) |
| vers –300 | Euclide (Alexandrie) | Preuve de l’irrationalité dans les Éléments X |
| 1872 | Dedekind (Allemagne) | Construction rigoureuse de \(\mathbb{R}\) par les coupures |
| 1874 | Cantor (Allemagne) | Indénombrabilité de \(\mathbb{R}\) — les irrationnels sont « plus nombreux » |
Idée centrale : La découverte de \(\sqrt{2}\) irrationnel est l’un des moments fondateurs des mathématiques. Elle montre que la réalité est plus riche que nos modèles — et que les mathématiques progressent en acceptant ce qui les dérange. La preuve par l’absurde, née de cette crise, est aujourd’hui l’un de vos outils les plus puissants.