Exercices — Géométrie dans l'espace

1. \(\overrightarrow{AB} = (2\,;\,-2\,;\,2)\), \(\overrightarrow{AC} = (1\,;\,-1\,;\,4)\), \(\overrightarrow{AD} = (4\,;\,-3\,;\,6)\).
2. Si \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) étaient colinéaires, il existerait \(k\) tel que \((1\,;\,-1\,;\,4) = k(2\,;\,-2\,;\,2)\). On aurait \(k = \frac{1}{2}\) (1re coordonnée) mais \(4 \neq \frac{1}{2}\times 2 = 1\). Les vecteurs ne sont pas colinéaires.
3. On cherche \(\alpha\) et \(\beta\) tels que \(\overrightarrow{AD} = \alpha\overrightarrow{AB} + \beta\overrightarrow{AC}\) : \[\begin{cases}2\alpha + \beta = 4 \\ -2\alpha - \beta = -3 \\ 2\alpha + 4\beta = 6\end{cases}\]

   En additionnant les deux premières équations : \(0 = 1\), ce qui est impossible.

   Donc \(\overrightarrow{AD}\) ne s'écrit pas comme combinaison linéaire de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) : les quatre points ne sont pas coplanaires.

1. \(\overrightarrow{AB} = (2\,;\,1\,;\,-2)\) et \(\overrightarrow{AC} = (-1\,;\,2\,;\,-1)\).

   \(\vec{n}\cdot\overrightarrow{AB} = 3\times 2 + 4\times 1 + 5\times(-2) = 6 + 4 - 10 = 0\) ✓

   \(\vec{n}\cdot\overrightarrow{AC} = 3\times(-1) + 4\times 2 + 5\times(-1) = -3 + 8 - 5 = 0\) ✓

   \(\vec{n}\) est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan \((ABC)\), donc \(\vec{n}(3\,;\,4\,;\,5)\) est un vecteur normal au plan.

   Vérification : \(\vec{n}\cdot\overrightarrow{AB} = 6 + 4 - 10 = 0\) et \(\vec{n}\cdot\overrightarrow{AC} = -3 + 8 - 5 = 0\). Correct.

2. Le plan \((ABC)\) a pour équation \(3x + 4y + 5z + d = 0\). Avec \(A(1\,;\,0\,;\,2)\) : \(3 + 0 + 10 + d = 0\), soit \(d = -13\).

   Équation : \(3x + 4y + 5z - 13 = 0\).

3. \(\Delta\) : \(\begin{cases}x = 1 + 3t \\ y = 4t \\ z = 2 + 5t\end{cases}\), \(t \in \mathbb{R}\).
4. On substitue dans l'équation du plan : \(3(1+3t) + 4(4t) + 5(2+5t) - 13 = 0\).

   \(3 + 9t + 16t + 10 + 25t - 13 = 0\), soit \(50t = 0\), donc \(t = 0\).

   Ainsi \(H = A(1\,;\,0\,;\,2)\). Cela signifie que \(A\) est son propre projeté orthogonal, c'est-à-dire que la droite \(\Delta\) est perpendiculaire au plan en \(A\) (ce qui est attendu puisque \(\vec{n}\) est normal au plan).

1. \(\vec{n}(2\,;\,-1\,;\,2)\) est un vecteur normal au plan.
2. \(\Delta\) : \(\begin{cases}x = 3 + 2t \\ y = 1 - t \\ z = 4 + 2t\end{cases}\), \(t \in \mathbb{R}\).
3. On substitue dans l'équation de \(\mathcal{P}\) : \(2(3+2t) - (1-t) + 2(4+2t) - 1 = 0\)

   \(6 + 4t - 1 + t + 8 + 4t - 1 = 0\)

   \(9t + 12 = 0\), soit \(t = -\dfrac{4}{3}\).

   \(H\left(3 - \dfrac{8}{3}\,;\,1 + \dfrac{4}{3}\,;\,4 - \dfrac{8}{3}\right) = H\left(\dfrac{1}{3}\,;\,\dfrac{7}{3}\,;\,\dfrac{4}{3}\right)\).

4. \(SH = \sqrt{\left(3-\dfrac{1}{3}\right)^2 + \left(1-\dfrac{7}{3}\right)^2 + \left(4-\dfrac{4}{3}\right)^2} = \sqrt{\dfrac{64}{9} + \dfrac{16}{9} + \dfrac{64}{9}} = \sqrt{\dfrac{144}{9}} = \dfrac{12}{3} = 4\).

   La distance de \(S\) au plan \(\mathcal{P}\) est 4.

On se place dans le repère orthonormé \((A\,; \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE})\). Dans ce repère, \(B(1;0;0)\), \(C(1;1;0)\) et \(H(0;1;1)\). Ainsi, \(O\), milieu de \([BH]\) a pour coordonnées \(O\left(\dfrac{1}{2} ; \dfrac{1}{2} ; \dfrac{1}{2} \right)\), \(\overrightarrow{OB}\begin{pmatrix} 0,5 \\ -0,5 \\ -0,5 \end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{OC}\begin{pmatrix} 0,5 \\ 0,5 \\ -0,5 \end{pmatrix}\) donc \(\overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OC} = 0,25\). De plus, \(OB = 0,5\sqrt{3}\) donc \(\overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OC} = 0,25 \times 3 \times \cos(\alpha)\) et ainsi, \(\cos(\alpha) = \dfrac{1}{3}\) donc \(\alpha \approx 71\)°.

{2}
1. \(a^2\)
2. \(-a^2\)
3. 0
4. \(a^2\)
5. \(a^2\)
6. 0

{2}
1. 16
2. 4
3. \(-2.25\)
4. \(1,75\)

1. \((DB)\) et \((EF)\) non coplanaires ;
2. \((IJ)\) et \((AF)\) parallèles;
3. \((IC)\) et \((AB)\) non coplanaires ;
4. \((JF)\) et \((EH)\) sécantes.

1. \(C(4;4;3)\) ;
2. \(\overrightarrow{AB}(-2;-2;5)\) et \(D(2;2;8)\) ;
3. \(K(2;3,5;3,5)\).