Exercices — Suites et récurrence

Exo 1 Exercice Exercice 1

Exercice — Démonstrations par récurrence

Démontrer par récurrence les propriétés suivantes.

Pour tout entier naturel \(n \geqslant 1\) : \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\).
Pour tout entier naturel \(n\) : \(3^n \geqslant 2n+1\).
La suite \((u_n)\) définie par \(u_0 = 2\) et \(u_{n+1} = \dfrac{u_n + 4}{2}\) vérifie : pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(2 \leqslant u_n \leqslant 4\).

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Correction

Initialisation : Pour \(n=1\) : \(\displaystyle\sum_{k=1}^{1}k^2 = 1\) et \(\dfrac{1 \times 2 \times 3}{6} = 1\). La propriété est vraie au rang 1. Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang \(n \geqslant 1\). Alors : \[\sum_{k=1}^{n+1}k^2 = \sum_{k=1}^{n}k^2 + (n+1)^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (n+1)^2\] \[= \dfrac{(n+1)\big[n(2n+1)+6(n+1)\big]}{6} = \dfrac{(n+1)(2n^2+7n+6)}{6} = \dfrac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}\] La propriété est vraie au rang \(n+1\). Conclusion : Par récurrence, la propriété est vraie pour tout \(n \geqslant 1\).
Initialisation : Pour \(n=0\) : \(3^0 = 1\) et \(2(0)+1=1\). On a \(1 \geqslant 1\), vrai. Hérédité : Supposons \(3^n \geqslant 2n+1\) pour un certain \(n \in \mathbb{N}\). Alors : \[3^{n+1} = 3 \times 3^n \geqslant 3(2n+1) = 6n+3 = 2(n+1)+1 + 4n \geqslant 2(n+1)+1\] Conclusion : Par récurrence, \(3^n \geqslant 2n+1\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
Initialisation : \(u_0 = 2\), et \(2 \leqslant 2 \leqslant 4\), vrai. Hérédité : Supposons \(2 \leqslant u_n \leqslant 4\). Alors : \[2 \leqslant u_n \leqslant 4 \implies 6 \leqslant u_n+4 \leqslant 8 \implies 3 \leqslant \dfrac{u_n+4}{2} \leqslant 4\] Donc \(2 \leqslant 3 \leqslant u_{n+1} \leqslant 4\). Conclusion : Par récurrence, \(2 \leqslant u_n \leqslant 4\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).

Exo 2 Exercice Exercice 2

Exercice — Convergence de suites

On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0 = 5\) et, pour tout entier naturel \(n\) : \[u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_n + 1\]

Calculer \(u_1\), \(u_2\) et \(u_3\).
Montrer par récurrence que pour tout \(n \in \mathbb{N}\) : \(u_n \geqslant 2\).
Étudier le sens de variation de la suite \((u_n)\).
En déduire que la suite \((u_n)\) converge.
Déterminer la limite \(\ell\) de \((u_n)\).
On pose \(v_n = u_n - 2\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\). Montrer que \((v_n)\) est géométrique et en déduire \(u_n\) en fonction de \(n\).

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Correction

\(u_1 = \dfrac{5}{2}+1 = \dfrac{7}{2} = 3{,}5\), \quad \(u_2 = \dfrac{7/2}{2}+1 = \dfrac{11}{4} = 2{,}75\), \quad \(u_3 = \dfrac{11/4}{2}+1 = \dfrac{19}{8} = 2{,}375\).
Initialisation : \(u_0 = 5 \geqslant 2\), vrai. Hérédité : Si \(u_n \geqslant 2\), alors \(u_{n+1} = \dfrac{u_n}{2}+1 \geqslant \dfrac{2}{2}+1 = 2\). Conclusion : Par récurrence, \(u_n \geqslant 2\) pour tout \(n\).
\(u_{n+1} - u_n = \dfrac{u_n}{2}+1 - u_n = 1-\dfrac{u_n}{2} = \dfrac{2-u_n}{2} \leqslant 0\) car \(u_n \geqslant 2\).
La suite \((u_n)\) est décroissante.
La suite est décroissante et minorée par 2, donc elle converge (théorème de convergence monotone).
Si \(\ell = \lim u_n\), alors par passage à la limite : \(\ell = \dfrac{\ell}{2}+1\), d'où \(\dfrac{\ell}{2} = 1\) et \(\ell = 2\).
\(v_{n+1} = u_{n+1}-2 = \dfrac{u_n}{2}+1-2 = \dfrac{u_n-2}{2} = \dfrac{v_n}{2}\).
La suite \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac{1}{2}\) et de premier terme \(v_0 = 3\).

Donc \(v_n = 3 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n\) et \(u_n = 2 + \dfrac{3}{2^n}\).

Exo 3 Exercice Exercice 3

Exercice — Suite définie par récurrence et seuil

On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0 = 1\) et, pour tout \(n \in \mathbb{N}\) : \[u_{n+1} = \sqrt{2u_n + 3}\]

Calculer \(u_1\) et \(u_2\) (valeurs exactes).
On considère la fonction \(f\) définie sur \([-\frac{3}{2}\,;+\infty[\) par \(f(x)=\sqrt{2x+3}\). Résoudre \(f(x)=x\).
Montrer par récurrence que pour tout \(n \in \mathbb{N}\) : \(1 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 3\).
En déduire que \((u_n)\) converge et déterminer sa limite.
Écrire en Python une fonction \texttt{seuil(p)} qui renvoie le plus petit entier \(n\) tel que \(|u_n - 3| < p\).

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Correction

\(u_1 = \sqrt{2+3} = \sqrt{5} \approx 2{,}236\). \quad \(u_2 = \sqrt{2\sqrt{5}+3} \approx \sqrt{7{,}472} \approx 2{,}734\).
\(f(x)=x \iff \sqrt{2x+3}=x\). On élève au carré (pour \(x \geqslant 0\)) : \(2x+3 = x^2\), soit \(x^2 - 2x - 3 = 0\). Le discriminant vaut \(\Delta = 16\), d'où \(x = 3\) ou \(x = -1\). Comme \(x \geqslant 0\), la seule solution est \(x = 3\).
Initialisation : \(u_0 = 1\) et \(u_1 = \sqrt{5} \approx 2{,}24\). On a \(1 \leqslant 1 \leqslant \sqrt{5} \leqslant 3\), vrai. Hérédité : Supposons \(1 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 3\). Comme \(f\) est croissante : \[f(1) \leqslant f(u_n) \leqslant f(u_{n+1}) \leqslant f(3)\] Or \(f(1) = \sqrt{5} \geqslant 1\), \(f(u_n) = u_{n+1}\), \(f(u_{n+1}) = u_{n+2}\) et \(f(3) = 3\).
Donc \(1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n+2} \leqslant 3\).
La suite est croissante et majorée par 3, donc elle converge. Sa limite \(\ell\) vérifie \(f(\ell)=\ell\), d'où \(\ell = 3\).
\begin{verbatim} def seuil(p): u = 1 n = 0 while abs(u - 3) >= p: u = (2*u + 3)**0.5 n = n + 1 return n \end{verbatim}

Exo 4 Exercice Exercice 4

Exercice — Suite auxiliaire géométrique

On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0 = 10\) et, pour tout \(n \in \mathbb{N}\) : \[u_{n+1} = 0{,}6\,u_n + 8\]

Calculer \(u_1\) et \(u_2\).
On pose \(v_n = u_n - 20\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
1. Montrer que \((v_n)\) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
2. Exprimer \(v_n\) puis \(u_n\) en fonction de \(n\).
Déterminer la limite de \((u_n)\).
Calculer \(S_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n}u_k\) en fonction de \(n\).

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Correction

\(u_1 = 0{,}6 \times 10 + 8 = 14\). \quad \(u_2 = 0{,}6 \times 14 + 8 = 16{,}4\).
1. \(v_{n+1} = u_{n+1} - 20 = 0{,}6\,u_n + 8 - 20 = 0{,}6\,u_n - 12 = 0{,}6(u_n - 20) = 0{,}6\,v_n\).
  Donc \((v_n)\) est géométrique de raison \(q = 0{,}6\) et de premier terme \(v_0 = 10-20 = -10\).
2. \(v_n = -10 \times 0{,}6^n\), d'où \(u_n = 20 - 10 \times 0{,}6^n\).
\(\lim_{n\to+\infty} 0{,}6^n = 0\) car \(|0{,}6|<1\), donc \(\lim_{n\to+\infty} u_n = 20\).
\(S_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n}u_k = \sum_{k=0}^{n}\big(20 - 10 \times 0{,}6^k\big) = 20(n+1) - 10\sum_{k=0}^{n}0{,}6^k\)
\(= 20(n+1) - 10 \times \dfrac{1-0{,}6^{n+1}}{1-0{,}6} = 20(n+1) - 25(1-0{,}6^{n+1})\).

Exo 5 Exercice Sesamath Terminale -- Récurrence et suites

On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0=5\) et \({u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n+1}\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\).

Montrer par récurrence que \(2\leqslant u_n \leqslant 5\) pour tout entier \(n\geqslant0\).

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On considère la propriété : « \(2\leqslant u_n \leqslant 5\) ».
Initialisation : Pour \(n=0\), on a \(u_0=5\). Donc \(2\leqslant u_0 \leqslant 5\) : la propriété est vraie pour \(n=0\).
Hérédité : si la propriété est vraie à un certain rang \(n\geqslant0\) alors elle est vraie au rang \(n+1\).
Supposons donc que \(2\leqslant u_n \leqslant 5\), on a alors : \begin{eqnarray*} &2\leqslant u_n \leqslant 5& \\ &1\leqslant \dfrac{1}{2}u_n \leqslant 2,5& \\ &2\leqslant \dfrac{1}{2}u_n+1 \leqslant 3,5.& \end{eqnarray*}

On en déduit que \(2\leqslant u_{n+1} \leqslant 5\), c'est-à-dire que la propriété est vraie au rang \(n+1\).
La propriété est vraie pour \(n=0\) et est héréditaire ; par récurrence elle est vraie pour tout \(n\geqslant0\) c'est-à-dire que \(2\leqslant u_n \leqslant 5\) pour tout \(n\geqslant 0\).

Exo 6 Exercice Sesamath Terminale -- Récurrence et suites

On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0=5\) et \({u_{n+1}=\dfrac{1}{10}(u_n+1)^2}\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\).

Montrer que \(0\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
En déduire que la suite \((u_n)\) est convergente.
On admet que la limite \(\ell\) de la suite vérifie

{\(\ell=\dfrac{1}{10}(\ell+1)^2\textrm{ et }\ell\leqslant 5.\) } Déterminer cette limite.

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On veut montrer que \(0\leqslant u_{n+1} \leqslant u_n\) pour tout \(n\geqslant 0\).
- On considère la propriété : « \(0\leqslant u_{n+1} \leqslant u_n\) ».
- Initialisation : Pour \(n=0\), on a \(u_0=5\) et \(u_1=3,6\).
  On a \(0\leqslant u_{1} \leqslant u_0\) : la propriété est vraie pour \(n=0\).
- Hérédité : si la propriété est vraie à un certain rang \(n\geqslant0\) alors elle est vraie au rang \(n+1\).
  
  Supposons donc que \(0\leqslant u_{n+1} \leqslant u_n\), on a alors : \begin{eqnarray*} &0\leqslant u_{n+1} \leqslant u_n& \\ &1\leqslant u_{n+1}+1 \leqslant u_n+1& \\ &1^2\leqslant (u_{n+1}+1)^2 \leqslant (u_n+1)^2&\\ &\dfrac{1}{10}\leqslant \dfrac{1}{10}(u_{n+1}+1)^2 \leqslant \dfrac{1}{10}(u_n+1)^2& \end{eqnarray*} car la fonction carrée est croissante sur \(\mathbb{R}^+\).
  
  On en déduit que \(0\leqslant u_{n+2} \leqslant u_{n+1}\), c'est-à-dire que la propriété est vraie au rang \(n+1\).
- La propriété est vraie pour \(n=0\) et est héréditaire ; donc par récurrence elle est vraie pour tout \(n\geqslant0\) c'est-à-dire que \(0\leqslant u_{n+1} \leqslant u_n\) pour tout \(n\geqslant 0\).
\textbullet{} Comme \(u_{n+1} \leqslant u_n\) pour tout \(n\in \mathbb{N}\), la suite est décroissante.
- De plus, \(0\leqslant u_n\), c'est-à-dire que la suite est minorée par \(0\).
La suite \((u_n)\) est décroissante et minorée : elle est convergente.
\(\ell=\dfrac{1}{10}(\ell+1)^2\Leftrightarrow 10\ell=\ell^2+2\ell+1\)

\(\Leftrightarrow\ell^2-8\ell+1=0\).

Cette équation résolue, on trouve deux solutions :

\(\ell_1=4-\sqrt{15}\approx0,13\) et \(\ell_1=4+\sqrt{15}\approx 7,87\).

Comme on admet d'après l'énoncé que \(\ell\leqslant 5\), on en déduit que la limite de la suite est \(4-\sqrt{15}\).

Exo 7 Exercice 98 Sesamath Terminale -- Récurrence et suites

On considère la suite \((u_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par \(u_n=\dfrac{4n+5}{n+2}=4-\dfrac{3}{n+2}\).

Donner une minoration « évidente » de \((u_n)\).
Montrer que la suite \((u_n)\) est majorée par 4.

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De manière évidente, \(u_n=\dfrac{4n+5}{n+2}>0\) car \(4n+5>0\) et \(n+2>0\) pour \(n\in\mathbb{N}\) donc \((u_n)\) est minorée par \(0\).
De manière évidente, \(-\dfrac{3}{n+2}<0\) car \(-3<0\) et \(n+2>0\) pour \(n\in\mathbb{N}\) donc \(u_n=4-\dfrac{3}{n+2}<4\) : \((u_n)\) est majorée par \(4\).

Exo 8 Exercice 105 Sesamath Terminale -- Récurrence et suites

Dans chacune des configurations suivantes dire si la suite \((u_n)\) est convergente, divergente ou si l'on ne peut pas conclure.

\((u_n)\) est croissante et \(u_n\geqslant 3\) pour tout \(n\in\mathbb{N}^*\) ;
\((u_n)\) est décroissante et bornée par \(-3\) et \(12\) ;
\((u_n)\) est décroissante et n'admet pas de minorant ;
\((u_n)\) est croissante et \(u_n\leqslant 1024\) pour tout entier \(n\geqslant 236\) ;
\(u_{n+1}\leqslant u_{n}\leqslant 2\) pour tout \(n\in\mathbb{N}^*\) ;
\(u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant 2\) pour tout \(n\in\mathbb{N}^*\).

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On ne peut rien dire.
\((u_n)\) est convergente (minorée et décroissante).
\((u_n)\) est divergente vers \(-\infty\) (suite décroissante non minorée).
\((u_n)\) est convergente (majorée à partir d'un certain rang et croissante).
On ne peut rien dire.
\((u_n)\) est convergente (majorée et croissante).