Thābit ibn Qurra : quand Bagdad généralise Pythagore
Une interview imaginaire du mathématicien du IXe siècle pour comprendre l’histoire et la beauté de son théorème — et découvrir que le produit scalaire a 1 000 ans d’avance.
Histoire des mathématiquesSeconde · Première · TerminaleTrigonométrie · Produit scalaire
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Thābit ibn Qurra al-Ḥarrānī (826 – 901 apr. J.-C.)
Mathématicien, astronome, médecin et traducteur de génie. Né à Ḥarrān (actuelle Turquie), installé à Bagdad à la cour du calife al-Muʿtaḍid. Auteur d’une trentaine d’ouvrages originaux en mathématiques et traducteur des plus grands textes grecs. Son théorème de généralisation du théorème de Pythagore est l’un des joyaux de l’âge d’or de l’islam.
Contexte historique
QThābit, vous vivez à Bagdad au IXe siècle. Racontez-nous ce contexte extraordinaire.
Bagdad est alors la plus grande ville du monde — plus d’un million d’habitants, le cœur battant d’un empire qui s’étend de l’Espagne à l’Inde. Et surtout, elle abrite la Bayt al-Ḥikma — la Maison de la Sagesse — fondée par le calife al-Maʾmūn quelques décennies avant ma naissance.
Imaginez une bibliothèque, un laboratoire, une académie, tout à la fois. Des savants y travaillent en arabe, en persan, en syriaque, en grec. La mission ? Rassembler, traduire, commenter, puis dépasser tout ce que l’Antiquité a produit. C’est là que j’ai passé l’essentiel de ma vie intellectuelle.
QVous avez traduit Euclide, Archimède, Ptolémée… N’était-ce pas suffisant ? Pourquoi vouloir aller plus loin ?
Traduire, c’est nécessaire — mais c’est du respect, pas de l’ambition. Euclide a posé des fondations magnifiques. Mais Euclide s’arrêtait là où ses outils le laissaient. Moi, je me posais des questions gênantes.
Par exemple : le théorème de Pythagore parle des triangles rectangles. C’est admirable. Mais que se passe-t-il pour n’importe quel triangle ? La nature est pleine de triangles qui ne sont pas rectangles. Une formule qui ne marche que dans un cas particulier… c’est une formule incomplète.
Le point de départ
QRappelons d’abord le théorème de Pythagore pour nos lecteurs lycéens.
Dans un triangle rectangle en A, si on appelle a = BC, b = AC, c = AB :
$BC^2 = AB^2 + AC^2$
Théorème de Pythagore — triangle rectangle en A
C’est le résultat le plus célèbre des mathématiques. Connu des Babyloniens mille ans avant Pythagore, démontré rigoureusement par Euclide dans ses Éléments. Mais il ne concerne que les triangles rectangles.
QQue se passe-t-il si l’angle en A n’est pas droit ? Donnez-nous l’intuition.
Prenez un triangle quelconque. Si vous « penchez » progressivement l’angle en A depuis 90° vers 60°, puis 45°… la formule $BC^2 = AB^2 + AC^2$ n’est plus vraie. Il manque quelque chose, ou il y a trop.
Ce quelque chose dépend exactement de combien l’angle A s’écarte de 90°. Et c’est là qu’intervient ma construction.
La construction de Thābit
QDécrivez votre construction pas à pas. Dessin à l’appui !
Je pars d’un triangle ABC quelconque, avec l’angle $\alpha$ au sommet A. Je trace deux projections orthogonales :
1
Depuis le sommet B, j’abaisse une perpendiculaire sur la droite (AC). J’appelle D son pied. Donc BD ⊥ AC.
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Depuis le sommet C, j’abaisse une perpendiculaire sur la droite (AB). J’appelle E son pied. Donc CE ⊥ AB.
3
J’observe AE = projection de AC sur (AB) et AD = projection de AB sur (AC).
4
Je définis BE = AB − AE (segment de E jusqu’à B) et CD = AC − AD (segment de D jusqu’à C).
D = pied de la perpendiculaire de B sur (AC) · E = pied de la perpendiculaire de C sur (AB)
Et voici mon théorème :
$BC^2 = AB \cdot BE + AC \cdot CD$
Théorème de Thābit — valable pour tout triangle ABC, quel que soit l’angle en A
La démonstration
QComment le démontrez-vous ? Guidez-nous étape par étape.
Notons $\alpha = \widehat{BAC}$, $b = AC$, $c = AB$. La démonstration repose sur les projections orthogonales et la définition du cosinus.
1
Calcul des projections. Dans le triangle rectangle ADB : $AD = AB \cos\alpha = c\cos\alpha$. Dans le triangle rectangle AEC : $AE = AC \cos\alpha = b\cos\alpha$.
2
Segments complémentaires. On en déduit : $BE = AB - AE = c - b\cos\alpha$ et $CD = AC - AD = b - c\cos\alpha$.
3
Développement. $AB \cdot BE + AC \cdot CD = c(c - b\cos\alpha) + b(b - c\cos\alpha) = c^2 - bc\cos\alpha + b^2 - bc\cos\alpha = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha$.
4
Conclusion. On a obtenu $b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha$. Or c’est exactement ce qu'Euclide établit dans les Éléments — proposition II.13 (triangle acutangle) et II.12 (triangle obtusangle) — non pas avec des cosinus, mais en termes de rectangles et d’aires : « le carré sur BC est égal à la somme des carrés sur AB et AC, diminuée de deux fois le rectangle formé par AC et AD ». Thābit s’appuie directement sur ce résultat euclidien. Donc $BC^2 = AB \cdot BE + AC \cdot CD$. ∎
Attention — piège historique
Il serait faux de dire que Thābit « utilise la loi des cosinus » pour conclure. La formule $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$ sous forme trigonométrique explicite est due à Al-Kāshī (~1427), soit six siècles après Thābit. Ce qu’Euclide (et Thābit) possèdent, c’est l’équivalent géométrique pur de cette relation — exprimé en aires et rectangles, sans le mot cosinus. Al-Kāshī traduit en trigonométrie ce qu’Euclide exprimait en géométrie.
De Thābit à Al-Kāshī
QComment passe-t-on de votre formule à la célèbre loi des cosinus d’Al-Kāshī ?
C’est un calcul direct. Reprenons ma formule et développons les segments $BE$ et $CD$ :
1
Ma formule : $BC^2 = AB \cdot BE + AC \cdot CD$
2
Exprimer BE et CD. On a vu que $AE = b\cos\alpha$ et $AD = c\cos\alpha$, donc :
$$BE = c - AE = c - b\cos\alpha \qquad \text{et} \qquad CD = b - AD = b - c\cos\alpha$$
3
Remplacer dans la formule :
$$BC^2 = c\,(c - b\cos\alpha) + b\,(b - c\cos\alpha)$$
Simplifier :
$$\boxed{BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2\,AB \cdot AC \cdot \cos\alpha}$$
C’est exactement la loi des cosinus, formulée par Al-Kāshī six siècles plus tard (~1427) dans le langage trigonométrique.
Ce qu’il faut retenir
La formule de Thābit ($BC^2 = AB \cdot BE + AC \cdot CD$) et la loi des cosinus ($a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$) disent la même chose. La première est géométrique (projections), la seconde est trigonométrique (cosinus). Le passage de l’une à l’autre est un simple développement algébrique.
Retrouver Pythagore
QVotre théorème est censé généraliser Pythagore. Montrez qu’on retrouve bien le cas particulier.
Supposons $\alpha = 90°$, donc $\cos 90° = 0$.
→
$AE = AC \cdot \cos 90° = 0$, donc E = A, et $BE = AB - 0 = AB$.
→
$AD = AB \cdot \cos 90° = 0$, donc D = A, et $CD = AC - 0 = AC$.
→
$AB \cdot BE + AC \cdot CD = AB \cdot AB + AC \cdot AC = AB^2 + AC^2$. On retrouve $BC^2 = AB^2 + AC^2$. ✓
Ce qui se passe géométriquement
Quand l’angle en A vaut 90°, les pieds D et E coïncident tous deux avec A. Les projections disparaissent, et BE = AB, CD = AC en entier. La formule générale se réduit exactement à Pythagore.
QEt que se passe-t-il si l’angle est obtus ?
Alors $\cos\alpha < 0$. Les pieds D et E tombent hors des segments AB et AC, sur leurs prolongements. Mais la formule algébrique reste vraie ! $BE = c - b\cos\alpha > c$ car on soustrait un nombre négatif. Il faut interpréter géométriquement avec plus de soin, mais la relation est inchangée.
C’est là qu’on voit la puissance d’une formule universelle : elle n’a pas besoin de distinguer les cas. L’algèbre s’en charge toute seule.
Le lien avec le produit scalaire
QVotre théorème est présenté comme « une reformulation du produit scalaire ». Mais vous vivez au IXe siècle, sans vecteurs ! Expliquez ce lien mystérieux.
En effet, je n’ai jamais écrit le mot « vecteur ». Mais les mathématiciens du XXe siècle ont reconnu dans ma formule quelque chose qu’ils avaient inventé dix siècles plus tard !
Le produit scalaire de deux vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ est défini comme :
Identité vectorielle — développement du carré d’une différence
Donc $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2\cdot AB \cdot AC \cdot \cos\alpha$. C’est la loi des cosinus.
Or notre terme $bc\cos\alpha = \|\overrightarrow{AB}\|\,\|\overrightarrow{AC}\|\cos\alpha$ est exactement le produit scalaire $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ ! Ma formule dit donc, traduite en langage vectoriel :
La formule de Thābit = la définition géométrique du produit scalaire
En clair pour les lycéens
En Première, quand vous apprenez que $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = AB \cdot AC \cdot \cos(\widehat{BAC})$, vous utilisez — sans le savoir — une vérité géométrique découverte par Thābit ibn Qurra en 870 apr. J.-C. à Bagdad. Le produit scalaire, c’est de la géométrie habillée en algèbre.
QPeut-on résumer le pont entre les deux formulations en une seule phrase ?
Oui. La projection orthogonale de $\overrightarrow{AB}$ sur la direction $\overrightarrow{AC}$ vaut $AE = b\cos\alpha$. Et le produit scalaire $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ n’est rien d’autre que :
$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} \;=\; AC \times \underbrace{AE}_{\text{proj. de AB sur (AC)}} \;=\; AB \times \underbrace{AD}_{\text{proj. de AC sur (AB)}}$
La projection orthogonale, c’est le sens géométrique du produit scalaire
Toute la machinerie du produit scalaire repose sur cette opération de projection — que j’ai utilisée sans lui donner de nom en 870.
Pourquoi c’est important
QQuelle est l’importance historique de votre travail ?
Mon théorème illustre quelque chose de plus grand : les mathématiciens de la Maison de la Sagesse n’étaient pas de simples traducteurs. Nous avons dépassé les Grecs.
Algèbre + géométrie
Al-Khwārizmī invente l’algèbre (820). Thābit l’applique à la géométrie. La synthèse est féconde.
Généralisation
Passer d’un cas particulier (triangle rectangle) à un résultat général : c’est le moteur du progrès mathématique.
Transmission
Ces résultats voyageront vers l’Europe via l’Espagne andalouse et nourriront la Renaissance scientifique.
QÀ quoi sert aujourd’hui la loi des cosinus ? Est-elle vraiment utile ?
Elle est fondamentale. Dans certains pays on l’appelle théorème d’Al-Kāshī, car c’est lui (~1427) qui en a donné la forme trigonométrique explicite que vous connaissez. Mais le fond géométrique remonte à Euclide et à Thābit — Al-Kāshī a surtout apporté la notation et la généralité trigonométrique. Elle permet :
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Navigation et cartographie : calculer une distance inconnue à partir de deux distances et d’un angle mesuré.
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Physique : composer des forces (addition vectorielle), calculer des énergies potentielles.
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Informatique 3D : tout le rendu graphique (jeux vidéo, architecture, animation) utilise le produit scalaire à chaque image affichée.
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Intelligence artificielle : la similarité cosinus mesure la ressemblance entre textes dans les moteurs de recherche et les grands modèles de langage.
Repères chronologiques
~1800 av. J.-C.
Babylone connaît des triplets pythagoriciens sur des tablettes cunéiformes.
~300 av. J.-C.
Euclide démontre dans les Éléments (II.12 et II.13) l’équivalent géométrique de la loi des cosinus — en termes d’aires et de rectangles, sans cosinus.
820 apr. J.-C.
Al-Khwārizmī publie le premier traité d’algèbre à Bagdad — le mot « algorithme » vient de son nom latinisé.
~870
Thābit ibn Qurra généralise Pythagore à tout triangle — reformulation implicite du produit scalaire.
~1427
Al-Kāshī (Perse) formule la loi des cosinus sous sa forme trigonométrique moderne : $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$. Ce n’est pas une découverte du résultat, mais sa traduction dans le langage trigonométrique.
~1800
Les mathématiciens européens formalisent le produit scalaire et les vecteurs.
Aujourd’hui
Le produit scalaire est au cœur de la physique, de la 3D, de l’IA — et des cours de Première.
Bilan pour les lycéens
QUn dernier mot pour les lycéens qui étudient Pythagore, la trigonométrie, le produit scalaire : quel fil rouge voyez-vous ?
Tous ces chapitres que vous étudiez séparément — les triangles rectangles, les cosinus, les vecteurs — sont en réalité le même problème vu à différents niveaux de généralité.
Pythagore est un cas particulier (angle droit). Ma formule généralise à tout angle. Le produit scalaire est l’habillage algébrique de cette même réalité géométrique. Et dans chaque cours où vous calculez $\vec{u}\cdot\vec{v}$, vous reparcourez dix siècles de mathématiques.
Les mathématiques ne sont pas une liste de formules à mémoriser. Elles sont une conversation entre les générations, à travers le temps et les continents. Bagdad au IXe siècle parlait à Paris au XXIe — et vous écoutez.
Le théorème en une ligne
$BC^2 = AB \cdot BE + AC \cdot CD$
où E et D sont les pieds des perpendiculaires abaissées de C sur (AB) et de B sur (AC).
Quand $\widehat{BAC} = 90°$, on retrouve $BC^2 = AB^2 + AC^2$ — le théorème de Pythagore.
En langage vectoriel : $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2\,\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ — le produit scalaire.