Exercice 3 — Triominos (bis) — Olympiades nationales 2026

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On revient ici sur les pavages par des triominos (cf. question 5 de l'exercice 1 « Triominos ») de grilles complètes \(a\times b\) rectangulaires, puis carrées. Un triomino est une pièce en forme de « L » couvrant 3 carrés unitaires (trois cases d'un carré \(2\times2\) privé d'une case). Une grille est dite pavable si elle peut être entièrement recouverte par de tels triominos, sans chevauchement ni dépassement.

Pavages de petites grilles

Question 1

Représenter un pavage d'une grille dans le cas où \(a=3\) et \(b=4\).

La grille \(3\times4\) a 12 cases, soit 4 triominos. On peut par exemple juxtaposer deux blocs \(3\times2\), chacun pavable par deux triominos en L imbriqués.

Une grille \(3\times2\) se pave avec deux triominos en L imbriqués (l'un occupant les cases \((1,1),(2,1),(1,2)\), l'autre les cases \((3,1),(3,2),(2,2)\) par exemple). En juxtaposant deux blocs \(3\times2\) côte à côte, on obtient un pavage complet de la grille \(3\times4\) avec 4 triominos.

Question 2a

On suppose que l'on peut paver une grille de taille \(a\times b\) (on la dit alors « pavable »). Montrer que l'entier \(ab\) est divisible par 3.

L'aire totale de la grille est la somme des aires des triominos utilisés, chacune valant 3.

Si une grille \(a\times b\) est pavée par des triominos, alors son aire \(ab\) est la somme des aires des triominos utilisés. Chaque triomino a une aire égale à 3. Donc \(3 \mid ab\).

Question 2b

Trouver la plus petite grille carrée pavable de taille \(a\times a\).

D'après 2a, il faut \(3 \mid a^2\), donc \(3 \mid a\) (3 est premier). Tester \(a=3\) directement, puis \(a=6\) en découpant en rectangles \(2\times3\).

Une grille carrée \(a\times a\) a pour aire \(a^2\). La condition nécessaire est \(3 \mid a^2\), donc \(3 \mid a\). Le plus petit candidat est donc \(a=3\).

La grille \(3\times3\) n'est pas pavable : le triomino qui recouvre un coin est forcé (une seule orientation possible), il en force un second, et il reste trois cases alignées, ce qui ne forme pas un triomino en L.

Le candidat suivant est \(a=6\). Une grille \(6\times6\) se pave en la découpant en six rectangles \(2\times3\), chacun pavable (deux triominos par rectangle).

La plus petite grille carrée pavable est \(6\times6\).

Question 2c

La condition « \(ab\) est divisible par 3 » est-elle suffisante pour garantir qu'une grille de taille \(a\times b\) soit pavable ?

Chercher un contre-exemple parmi les petites grilles déjà étudiées.

Non. La condition \(3 \mid ab\) n'est pas suffisante : la grille \(3\times3\) a une aire multiple de 3 (\(9\)) mais n'est pas pavable (question 2b).

Question 3

On suppose que \(a=2\). À quelle condition nécessaire et suffisante sur \(b\) une grille de taille \(2\times b\) est-elle pavable ?

La condition nécessaire (question 2a) donne \(3 \mid 2b\), donc \(3 \mid b\). Montrer la réciproque en découpant la grille en blocs \(2\times3\).

La condition nécessaire est \(3 \mid 2b\), donc \(3 \mid b\) (car \(3\) est premier avec \(2\)).

Réciproquement, si \(3 \mid b\), on découpe la grille \(2\times b\) en \(b/3\) rectangles \(2\times3\), chacun pavable avec deux triominos.

La grille \(2\times b\) est pavable si et seulement si \(3 \mid b\).

Travaux manuels — bandeau \(2\times16\)

Question 4

Sur un bandeau \(2\times16\), on symétrise un triomino encré en noir par rapport à un axe \(\Delta_1\), puis le nouveau triomino par rapport à \(\Delta_2\), puis le nouveau-nouveau triomino par rapport à \(\Delta_3\). En remplaçant chaque symétrie par un pliage (en faisant en sorte que le triomino noir soit toujours visible) et en découpant selon les traits, on obtient une farandole de 8 triominos identiques. Pourquoi ?

Chaque pliage superpose deux épaisseurs de papier. Compter le nombre d'épaisseurs après les trois pliages successifs, et ce que produit une découpe traversant toutes ces épaisseurs à la fois.

Chaque pliage remplace une symétrie par une superposition : après le premier pliage, on a 2 épaisseurs ; après le deuxième, 4 ; après le troisième, 8.

Le triomino noir restant visible, le découpage selon son contour traverse donc 8 épaisseurs identiques, ce qui produit \(2^3=8\) triominos identiques.

Le deuxième bandeau fonctionne exactement de la même façon et fournit lui aussi 8 triominos.

Grilles \(5\times b\) et construction générale

Question 5a, 5b

On suppose \(a=5\). Représenter un pavage convenable d'une grille quand \(b=6\), puis quand \(b=9\).

Un pavage possible d'une grille \(5\times6\) et d'une grille \(5\times9\) s'obtient en combinant des blocs rectangulaires pavables (\(2\times3\) et \(3\times2\)) disposés de façon à recouvrir entièrement chaque grille — voir la figure du sujet original.

Question 5c

On suppose \(b\) divisible par 3, \(b \geq 6\). Montrer que l'on peut paver une grille de taille \(5\times b\).

Tout multiple de 3 supérieur ou égal à 6 s'écrit \(6k\) ou \(6k+3\) avec \(k \geq 1\). Juxtaposer des blocs \(5\times6\) et, si besoin, un bloc \(5\times9\).

Soit \(b\) un multiple de 3 avec \(b \geq 6\). Alors \(b\) est de la forme \(6k\) ou \(6k+3\) (\(k \geq 1\)).

Si \(b=6k\), on juxtapose \(k\) grilles \(5\times6\) (pavables d'après 5a).
Si \(b=6k+3\), on juxtapose \((k-1)\) grilles \(5\times6\) et une grille \(5\times9\) (pavable d'après 5b).

Ainsi, pour tout \(b \geq 6\) multiple de 3, la grille \(5\times b\) est pavable.

Question 6

On suppose que \(b\) est divisible par 3 et que l'on peut paver une grille de taille \(a\times b\). Montrer que l'on peut alors paver une grille de taille \((a+2)\times b\).

Utiliser la question 3 : une bande \(2\times b\) est pavable dès que \(3 \mid b\). L'accoler à la grille \(a\times b\) déjà pavée.

D'après la question 3, une grille \(2\times b\) est également pavable (puisque \(3 \mid b\)). En accolant à la grille \(a\times b\) une bande \(2\times b\), on obtient un pavage de la grille \((a+2)\times b\).

\(a\times b\) pavable \(\implies\) \((a+2)\times b\) pavable, dès que \(3 \mid b\).

Question 7

On suppose que \(a \geq 4\) et \(b \geq 4\). Montrer que l'on peut paver une grille de taille \(a\times b\) si, et seulement si, \(ab\) est divisible par 3. En déduire les grilles carrées que l'on peut paver.

La nécessité vient de 2a. Pour la réciproque, supposer (par symétrie) que \(3 \mid b\), distinguer selon la parité de \(a\) : partir d'une grille \(2\times b\) (si \(a\) pair) ou \(5\times b\) (si \(a\) impair, donc \(a \geq 5\)), puis appliquer la question 6 de façon répétée.

La nécessité a déjà été vue en 2a : si la grille \(a\times b\) est pavable, alors \(3 \mid ab\).

Réciproquement, supposons \(a,b \geq 4\) et \(3 \mid ab\). Par symétrie, on peut supposer \(3 \mid b\) (si ce n'est pas le cas, \(3 \mid a\) et on échange les rôles). Comme \(b \geq 4\) et \(3 \mid b\), on a en fait \(b \geq 6\).

— Si \(a\) est pair, on part d'une grille \(2\times b\) (pavable d'après la question 3), puis on applique plusieurs fois la question 6 pour obtenir successivement \(4\times b, 6\times b, \ldots\), jusqu'à \(a\times b\).
— Si \(a\) est impair, alors \(a \geq 5\). On part d'une grille \(5\times b\) (pavable d'après la question 5c), puis on applique plusieurs fois la question 6 pour atteindre \(a\times b\).

Pour \(a,b \geq 4\) : \(a\times b\) pavable \(\iff\) \(3 \mid ab\).

Pour une grille carrée \(a\times a\) avec \(a \geq 4\), cela devient \(a\times a\) pavable \(\iff\) \(3 \mid a^2 \iff 3 \mid a\).
En tenant compte de la question 2b (la grille \(3\times3\) n'est pas pavable), les grilles carrées pavables sont exactement :
\(a\times a\) avec \(a \geq 6\) et \(3 \mid a\).