Olympiades · Académique Nantes · 2019 · Séries autres que S
Sur une planche en bois, des clous sont pointés (espacés d'une unité) sur des lignes et colonnes. On appelle \(R_{n,p}\) un rectangle de dimensions \(n\times p\) aux côtés parallèles aux bords de la planche, et \(T_{n,p}\) un triangle rectangle dont les côtés adjacents à l'angle droit sont de dimensions \(n\) et \(p\), parallèles aux bords.
Parties A et B : questions identiques à celles de l'exercice « Planche à clous » de la série S (numérotées 1 à 5) — voir Exercice 1 — La planche à clous (série S) pour l'énoncé détaillé et le corrigé complet de ces questions.
Partie C. \(I',B'\) = clous intérieurs/bord d'un triangle \(T_{n,p}\). 6. Exprimer l'aire de \(T_{n,p}\) en fonction de \(I',B'\) (identique à la série S).
7. (spécifique à cette série) On considère un triangle \(LMN\) tel que le côté \([LM]\) est horizontal, avec \(L,M,N\) sur des clous, et le pied de la hauteur issue de \(N\) appartient à \([LM]\). Déterminer une formule donnant l'aire du triangle \(LMN\) en fonction de \(I'\) et \(B'\) (comptés pour \(LMN\) lui-même).
Q1 à 6 : voir l'indication de l'exercice 1 (série S), questions identiques.
Q7. Noter \(H\) le pied de la hauteur issue de \(N\) : le triangle \(LMN\) se décompose en deux triangles rectangles \(LHN\) et \(NHM\), chacun traitable par la formule de la question 6. Additionner les deux aires, puis exprimer le résultat en termes des clous intérieurs/du bord de \(LMN\) — en prenant garde aux clous du segment \([HN]\) qui sont comptés deux fois dans la somme des bords de \(LHN\) et \(NHM\).
1 à 6. Réponses identiques à celles de la série S (voir Exercice 1 — série S) : \(R_{6,6}\) a 24 clous sur le bord, 25 à l'intérieur, 7 sur une diagonale ; \(R_{31,1}\) : 0 intérieur, 64 sur le bord, 2 sur une diagonale ; le rectangle de 22 unités d'aire avec un clou intérieur est \(R_{11,2}\) (10 clous intérieurs, 26 sur le bord) ; \(R_{30,24}\) : 108 clous sur le bord, 667 à l'intérieur, l'algorithme affiche \(D=7\) ; \(T_{30,24}\) : 60 clous sur le bord, 331 à l'intérieur ; l'aire d'un rectangle vaut \(I+\frac B2-1\) ; il n'existe pas de rectangle à 50 clous intérieurs et 96 sur le bord (aire \(97\) premier) ; l'aire d'un triangle \(T_{n,p}\) est donnée par la même formule \(I'+\frac{B'}2-1\).
7. Notons \(H\) le pied de la hauteur issue de \(N\), et appliquons la formule de la question 6 aux deux triangles rectangles \(LHN\) et \(NHM\) :
\[\mathrm{Aire}(LMN)=\mathrm{Aire}(LHN)+\mathrm{Aire}(NHM)=\mathrm{Int}(LHN)+\frac{\mathrm{Bord}(LHN)}2-1+\mathrm{Int}(NHM)+\frac{\mathrm{Bord}(NHM)}2-1.\]
Or, dans la somme \(\mathrm{Bord}(LHN)+\mathrm{Bord}(NHM)\), les clous du segment \([HN]\) (extrémités \(H\) et \(N\) incluses) sont comptés deux fois. En notant que \(\mathrm{Bord}(LHN)+\mathrm{Bord}(NHM)=\mathrm{Bord}(LMN)+2+2\times(\text{clous de }]HN[)\) (le \(+2\) provenant du double comptage de \(H\) et \(N\) eux-mêmes) :
\[\frac{\mathrm{Bord}(LHN)+\mathrm{Bord}(NHM)}2=\frac{\mathrm{Bord}(LMN)}2+1+(\text{clous de }]HN[).\]
D'où : \(\mathrm{Aire}(LMN)=\mathrm{Int}(LHN)+\mathrm{Int}(NHM)+(\text{clous de }]HN[)+\dfrac{\mathrm{Bord}(LMN)}2+1-2.\)
Or \(\mathrm{Int}(LHN)+\mathrm{Int}(NHM)+(\text{clous de }]HN[)=\mathrm{Int}(LMN)\) (les clous intérieurs de \(LHN\) et \(NHM\), plus ceux du segment \([HN]\) strictement entre \(H\) et \(N\), reconstituent exactement l'intérieur de \(LMN\), le segment \([HN]\) étant une « couture » interne).
On retrouve donc, comme en question 6 : \(\mathrm{Aire}(LMN)=I'+\dfrac{B'}2-1\) (la formule s'applique donc à tout triangle à sommets sur des clous, pas seulement aux triangles rectangles \(T_{n,p}\)).