Olympiades · Académique Nantes · 2019 · Série S
Sur une planche en bois, des clous sont pointés (espacés d'une unité) sur des lignes et colonnes. On appelle \(R_{n,p}\) un rectangle de dimensions \(n\times p\) aux côtés parallèles aux bords de la planche, et \(T_{n,p}\) un triangle rectangle dont les côtés adjacents à l'angle droit sont de dimensions \(n\) et \(p\), parallèles aux bords.
Partie A. 1a. Nombre de clous sur le bord, à l'intérieur, sur une diagonale d'un carré \(R_{6,6}\) ? 1b. Même question pour \(R_{31,1}\). 2. Un rectangle \(R_{n,p}\) de 22 unités d'aire contient au moins un clou intérieur : combien de clous à l'intérieur et sur le bord ? 3a. Clous sur le bord puis à l'intérieur de \(R_{30,24}\). 3b. Un algorithme teste, pour \(i\) de 0 à 30, si \(\frac{24}{30}i\) est entier et incrémente \(D\) le cas échéant : que vaut \(D\) à la fin, et que représente-t-il ? 3c. Clous sur le bord de \(T_{30,24}\) ? 3d. Clous à l'intérieur de \(T_{30,24}\) ?
Partie B. \(I,B,D\) = nombre de clous intérieurs, sur le bord, sur une diagonale de \(R_{n,p}\). 4. Montrer que l'aire de \(R_{n,p}\) vaut \(I+\frac B2-1\) (vérifier pour \(R_{30,24}\), puis démontrer en général). 5. Existe-t-il \(R_{n,p}\) avec 50 clous intérieurs et 96 sur le bord ?
Partie C. \(I',B'\) = clous intérieurs/bord d'un triangle \(T_{n,p}\). 6. Exprimer l'aire de \(T_{n,p}\) en fonction de \(I',B'\). 7. Exprimer \(D\) (clous sur une diagonale d'un rectangle) en fonction de \(n,p\).
3b. \(\frac{24}{30}i\) entier revient à \(i\) multiple de \(\frac{30}{\mathrm{pgcd}(24,30)}\) : reconnaître dans \(D\) le nombre de points à coordonnées entières sur la diagonale du rectangle.
3c, 3d. Le bord du triangle \(T_{30,24}\) est formé des deux côtés de l'angle droit (respectivement \(31\) et \(25\) clous) et de l'hypoténuse (la diagonale du rectangle, comptée une seule fois) ; attention à ne pas compter deux fois les sommets communs. Pour l'intérieur, la diagonale partage le rectangle \(R_{30,24}\) en deux triangles congruents.
4b. Exprimer \(I=(n-1)(p-1)\) et \(B=2n+2p\) en fonction de \(n,p\), puis substituer.
6. Relier \(I'\) et \(B'\) (triangle) à \(I,B,D\) (rectangle englobant) via la diagonale qui sépare le rectangle en deux triangles.
7. Distinguer le cas \(n,p\) premiers entre eux (aucun point entier strictement entre les extrémités de la diagonale) du cas général, en découpant le rectangle en \(\mathrm{pgcd}(n,p)\) copies d'un rectangle aux côtés premiers entre eux.
1a. \(R_{6,6}\) : \(24\) clous sur le bord (\(2\times6+2\times6-4\)... plus simplement le périmètre en nombre de clous), \(5^2=25\) clous à l'intérieur (grille \(5\times5\)), \(7\) clous sur une diagonale (les points \((k,k)\) pour \(k=0,\dots,6\)).
1b. \(R_{31,1}\) : aucun clou à l'intérieur (largeur 1), \(64\) clous sur le bord, \(2\) clous sur une diagonale (les deux extrémités seulement, car \(\mathrm{pgcd}(31,1)=1\)).
2. \(22=2\times11\), avec 11 premier : les seules dimensions possibles sont \((22,1)\) ou \((11,2)\). Le premier cas ne contient aucun clou intérieur (largeur 1), donc exclu. Dimensions \(11\times2\) : 10 clous à l'intérieur, 26 sur le bord.
3a. Bord de \(R_{30,24}\) : \(2\times30+2\times24=108\) clous. Intérieur : \(29\times23=667\) clous.
3b. L'algorithme affiche \(D=7\), le nombre de clous situés sur une diagonale de \(R_{30,24}\) (les points \((i,\frac{24}{30}i)\) à coordonnées entières, pour \(i\) de 0 à 30).
3c. Le bord de \(T_{30,24}\) comprend : 7 clous sur l'hypoténuse (la diagonale), \(30+1=31\) clous sur un côté de l'angle droit et \(24+1=25\) sur l'autre — en ne comptant qu'une fois les sommets communs : \(7+30+23=\boxed{60}\) clous sur le bord de \(T_{30,24}\).
3d. Sur les \(667\) clous intérieurs de \(R_{30,24}\), la diagonale en traverse \(7-2=5\) (les 7 clous de la diagonale, moins les 2 extrémités déjà comptées dans le bord). Les \(667-5=662\) clous intérieurs restants se répartissent également entre les deux triangles : \(\dfrac{662}2=\boxed{331}\) clous à l'intérieur de \(T_{30,24}\).
4a. Pour \(n=30,p=24\) : \(I+\frac B2-1=667+\frac{108}2-1=667+54-1=720=30\times24\) ✓.
4b. Pour \(R_{n,p}\) quelconque : \(B=2n+2p\), \(I=(n-1)(p-1)\). Donc \(I+\frac B2-1=(n-1)(p-1)+n+p-1=np-n-p+1+n+p-1=\boxed{np}\), l'aire du rectangle.
5. Si un tel rectangle existe, son aire vaut \(50+\frac{96}2-1=50+48-1=97\). Comme \(97\) est premier, les seules dimensions possibles sont \((97,1)\), qui ne contient aucun clou intérieur (contradiction avec \(I=50\)). Un tel rectangle n'existe pas.
6. En notant \(D\) le nombre de clous sur la diagonale du rectangle englobant \(R_{n,p}\) : \(I'=\frac12I-\frac12D+1\) et \(B'=\frac B2+D-1\) (clous du triangle en fonction de ceux du rectangle). On obtient \(I'+\frac{B'}2-1=\frac12\left(I+\frac B2-1\right)\), soit la moitié de l'aire du rectangle : l'aire de \(T_{n,p}\) est donnée par la même formule \(I'+\dfrac{B'}2-1\).
7. \(D=1+\mathrm{pgcd}(n,p)\). En effet, si \(n,p\) sont premiers entre eux, la diagonale ne passe par aucun point à coordonnées entières strictement entre ses extrémités, donc \(D=2=1+1\). Sinon, en notant \(d=\mathrm{pgcd}(n,p)\), le rectangle se découpe en \(d\) copies d'un rectangle de dimensions \(n/d,p/d\) premières entre elles, ce qui donne \(D=1+d\).