Olympiades · Académique Nantes · 2017 · Série scientifique
On considère \(n\) pièces de 1 euro posées sur une table, modélisées par \(n\) cercles de rayon 1 deux à deux disjoints ou tangents (non sécants). On cherche à tracer un cercle aussi petit que possible contenant les \(n\) pièces.
Partie A — Encercler sans déplacer. 1. Cas \(n=2\) : justifier l'existence d'un cercle de rayon minimal contenant les deux pièces, et le construire. 2. Cas \(n=3\) : expliquer la construction du cercle de rayon minimal contenant les trois pièces, dans deux configurations données.
Partie B — Encercler au mieux en déplaçant les pièces. Conjecturer les dispositions optimales (pièces ne se chevauchant pas, toutes dans un cercle de rayon minimal) pour 2, 3, 4, 5 et 6 pièces.
Partie C — Calcul du rayon minimal. 1. Deux cercles concentriques de rayons \(r=2\) et \(R=4\) : combien de cercles de rayon 1, disjoints, peut-on placer dans la couronne ? 2. Avec des rayons \(r\) et \(r+2\), à partir de quelle valeur de \(r\) peut-on placer 5 cercles de rayon 1 dans la couronne ? 3. Calculer les rayons des cercles conjecturés en partie B.
A1. Considérer les deux points les plus éloignés du milieu de \([AB]\) sur la droite des centres : le cercle de diamètre ces deux points contient les deux pièces. Utiliser l'inégalité triangulaire pour montrer qu'aucun cercle plus petit ne convient.
A2. La différence entre les deux configurations proposées vient de la présence ou non d'un angle obtus dans le triangle formé par les centres des trois pièces : la médiane issue du sommet de l'angle obtus est inférieure à la moitié du côté opposé (cas contraire pour un angle aigu).
C1, C2. Placer les centres des petits cercles à distance \(r+1\) du centre commun (au milieu de la couronne) : deux petits cercles voisins, tangents, forment avec le centre un triangle isocèle dont on peut calculer le demi-angle au sommet par trigonométrie dans le triangle rectangle associé (\(\sin(\alpha/2)=\frac1{r+1}\)).
C3. Pour chaque configuration de \(k\) cercles autour d'un centre commun (touchant tous leurs voisins), le rayon du grand cercle est \(R_k=\dfrac1{\sin(\pi/k)}+1\) — sauf pour \(k=2\) qui se traite directement.
A1. La droite \((AB)\) des centres coupe \(C_1\) et \(C_2\) en deux points \(A_1,B_1\) (les plus éloignés du milieu de \([AB]\)). Le cercle \(C_0\) de diamètre \([A_1B_1]\), de centre \(O_1\) et de rayon \(r_0=\frac{A_1B_1}2\), contient \(C_1\) et \(C_2\). Pour tout cercle \(C\) de centre \(O\), rayon \(r\), contenant \(C_1,C_2\) (donc \(A_1,B_1\)) : \(OA_1+OB_1\geq A_1B_1\) (inégalité triangulaire), donc \(2r\geq2r_0\), soit \(r\geq r_0\). \(C_0\) est donc l'unique cercle de rayon minimal.
A2. Cas \(n=3\) (figure 2, angle non obtus) : les médiatrices de \([IK]\) et \([JK]\) (centres des trois pièces) se coupent en \(O_1\), centre du cercle circonscrit ; les droites \((O_1I),(O_1J),(O_1K)\) coupent les trois pièces en leurs points les plus éloignés \(I_1,J_1,K_1\). Le cercle de rayon minimal contenant les trois pièces est le cercle circonscrit à \(I_1J_1K_1\), centré en \(O_1\) (unique, car les trois disques de rayon \(r_1\) centrés en \(I_1,J_1,K_1\) n'ont qu'un point commun \(O_1\)). La différence entre les deux configurations proposées dans le sujet tient à la présence ou non d'un angle obtus dans le triangle des centres : la médiane issue du sommet de l'angle obtus est plus courte que la moitié du côté opposé (elle est égale à cette demi-longueur si l'angle est droit, plus longue s'il est aigu) — dans le cas obtus, c'est alors le cercle de diamètre les deux centres les plus éloignés (comme en A1) qui donne le rayon minimal, pas le cercle circonscrit aux trois.
B. Les dispositions optimales conjecturées sont les empilements compacts classiques : 2 pièces alignées, 3 en triangle équilatéral, 4 en carré, 5 en pentagone régulier (éventuellement avec une pièce centrale à partir d'un certain nombre), 6 en hexagone régulier autour d'une pièce centrale.
C1. En plaçant chaque petit cercle (rayon 1) avec son centre à distance \(3\) du centre commun (\(=r+1=2+1\), qui coïncide ici avec \(R-1=4-1\) car la couronne a exactement la largeur d'un diamètre), deux petits cercles voisins tangents \(A_1,A_2\) forment avec le centre \(O\) un triangle isocèle de côtés \(3,3,2\) (car \(A_1A_2=2\times1\)). Par la loi des cosinus : \(\cos\alpha=\dfrac{3^2+3^2-2^2}{2\times3\times3}=\dfrac{14}{18}=\dfrac79\), donc \(\alpha=\widehat{A_1OA_2}\approx38{,}942°\), et \(\dfrac{360}\alpha\approx9{,}2445\). On peut donc loger au plus 9 cercles.
C2. Pour loger exactement 5 cercles, il faut \(\alpha\leq\frac{2\pi}5\), soit \(\sin(\alpha/2)\leq\sin\frac\pi5\). Avec \(\sin(\alpha/2)=\dfrac1{r+1}\) (centres à distance \(r+1\)) : \(\dfrac1{r+1}\leq\sin\dfrac\pi5\), d'où \(\boxed{r\geq\dfrac1{\sin(\pi/5)}-1\approx0{,}7013}\).
C3. En notant \(R_k\) le rayon du cercle minimal contenant les \(k\) pièces de la configuration conjecturée (centres à distance \(R_k-1\) du centre, tangents à leurs voisins) : \(R_k=\dfrac1{\sin(\pi/k)}+1\) pour \(k\geq3\), et \(R_2=2\) directement (deux pièces tangentes).
| \(k\) | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(R_k\) | 2 | \(\frac{2\sqrt3}3+1\approx2{,}1547\) | \(\sqrt2+1\approx2{,}4142\) | \(\approx2{,}7013\) | 3 | 3 |
Pour \(k=6\) : les 6 centres, à distance \(R_6-1=2\) du centre et tangents à leurs voisins (côté d'hexagone régulier \(=\) rayon), donnent \(R_6=1/\sin(\pi/6)+1=2+1=3\). Pour \(k=7\) : à partir de \(n=7\), l'espace intérieur (déjà occupé par la pièce centrale dans la configuration à 6+1) permet d'ajouter une 7ᵉ pièce sans agrandir le cercle : \(R_7=R_6=3\) (empilement compact classique « 1 pièce entourée de 6 »).