Olympiades · Académique Nantes · 2017 · Série non scientifique
Tom a dans le tiroir de sa commode des chaussettes grises et bleues, en vrac. En tirant deux chaussettes au hasard dans l'obscurité, l'une après l'autre, une fois sur deux elles sont grises toutes les deux. Le but est de déterminer le nombre de chaussettes du tiroir.
1. Tom suppose qu'avec 10 grises et 10 bleues, la probabilité d'obtenir deux grises serait \(p=0{,}5\). Une simulation informatique de 100 séries de 50 tirages donne un nuage de points de fréquences observées, toutes entre 0,10 et 0,40. Ces résultats valident-ils l'hypothèse de Tom ?
2. On note \(g\) le nombre de chaussettes grises, \(b\) le nombre de bleues, \(p\) la probabilité de tirer deux grises. a) Montrer que pour \(b=4,g=12\) : \(p=0{,}55\). b) Calculer \(p\) pour \(b=7,g=18\). c) Sachant \(b=204\), Tom fait tourner l'algorithme suivant pour trouver \(g\) :
Quelles valeurs affiche cet algorithme ? Justifier qu'il répond bien au problème de Tom.
3. Sachant que Tom a moins de 250 chaussettes bleues, trouver toutes les répartitions \((g,b)\) possibles conduisant à \(p=0{,}5\).
4. En réalité, Tom n'a que des paires de chaussettes à doigts (une gauche, une droite, distinctes). Peut-on obtenir une paire assortie grise avec probabilité \(0{,}5\) ?
1. Sous l'hypothèse \(p=0{,}5\) avec 50 tirages, l'intervalle de fluctuation typique au niveau 95% est \(\left[0{,}5-\frac1{\sqrt{50}}\,;\,0{,}5+\frac1{\sqrt{50}}\right]\) : comparer la proportion de points du nuage qui y tombent à 95%.
2c. Faire tourner l'algorithme « à la main » pour quelques valeurs de \(G\), ou reconnaître qu'il cherche la plus petite valeur de \(G\) telle que \(P\geq0{,}5\) — puis vérifier que cette valeur correspond bien à la racine positive de l'équation du second degré posée en question 3.
3. \(p=\dfrac g{g+b}\times\dfrac{g-1}{g+b-1}=\dfrac12\) se ramène, après réduction au même dénominateur, à une équation du second degré en \(g\) (à \(b\) fixé) : ne garder que les solutions entières positives, en étudiant quand le discriminant est un carré parfait.
4. Poser \(p_1\) la probabilité d'obtenir une grise gauche puis une grise droite (ou l'inverse), et écrire l'équation \(2p_1p_2=\frac12\) ; étudier le signe de l'expression obtenue pour \(g\) en fonction de \(b\).
1. Les fréquences observées se situent toutes entre 0,10 et 0,40. Seules deux sont dans l'intervalle \(\left[0{,}5-\frac1{\sqrt{50}}\,;\,0{,}5+\frac1{\sqrt{50}}\right]\cong[0{,}36\,;0{,}64]\), loin des 95% théoriques attendus. L'hypothèse de Tom n'est donc pas validée — les résultats suggèrent plutôt \(p\) proche de \(0{,}25\).
2a. \(p=\dfrac{12}{16}\times\dfrac{11}{15}=\dfrac{11}{20}=0{,}55.\)
2b. \(p=\dfrac{18}{25}\times\dfrac{17}{24}=\dfrac{51}{100}=0{,}51.\)
2c. L'algorithme cherche la plus petite valeur de \(G\) telle que \(P=\dfrac G{G+204}\times\dfrac{G-1}{G+203}\geq0{,}5\). En le faisant tourner, on trouve \(G=493\) et \(P=0{,}5\) exactement. En effet, l'équation \(\dfrac g{g+204}\times\dfrac{g-1}{g+203}=\dfrac12\) donne \((g+204)(g+203)=2g(g-1)\iff g^2-409g-41412=0\), de discriminant \(\Delta=409^2+4\times41412=332929=577^2\), et racine positive \(g=\dfrac{409+577}2=493\). L'algorithme s'arrête donc bien en \(G=493\), qui répond exactement au problème de Tom.
3. L'équation \(p=\dfrac g{g+b}\times\dfrac{g-1}{g+b-1}=\dfrac12\) se réécrit \(g^2-(2b+1)g-(b^2-b)=0\), de discriminant \(1+8b^2\) : il faut que \(1+8b^2\) soit un carré parfait, ce qui n'arrive que pour certaines valeurs de \(b\). Avec \(b<250\), on trouve :
| \(b\) | 1 | 6 | 35 | 204 |
|---|---|---|---|---|
| \(\Delta\) | \(9=3^2\) | \(289=17^2\) | \(9801=99^2\) | \(257049=577^2\) |
| \(g\) | 3 | 15 | 85 | 493 |
Répartitions possibles : \((g,b)=(3,1),(15,6),(85,35),(493,204)\).
4. En notant \(p_1=\dfrac g{2g+2b}\) et \(p_2=\dfrac g{2g+2b-1}\) les probabilités de tirer une grise à chaque pied (gauche puis droit, ou l'inverse) : \(2p_1p_2=\dfrac12\iff4g^2=(2g+2b)(2g+2b-1)\iff(8b-2)g=2b-4b^2.\)
Si \(8b-2=0\), alors \(b=\frac14\), impossible (\(b\) entier). Sinon, \(g=\dfrac{2b(1-2b)}{2(4b-1)}=\dfrac{b(1-2b)}{4b-1}\) : comme \(b\geq1\), \(1-2b<0\) et \(4b-1>0\), donc \(g<0\), impossible.
Il n'existe donc aucune solution : la probabilité \(0{,}5\) est inatteignable dans ce cas.