Olympiades · Académique Nantes · 2017 · Série scientifique
Tom a dans le tiroir de sa commode des chaussettes grises et bleues, en vrac. En tirant deux chaussettes au hasard dans l'obscurité, l'une après l'autre, une fois sur deux elles sont grises toutes les deux. Le but est de déterminer le nombre de chaussettes du tiroir.
1. Tom suppose qu'avec 10 grises et 10 bleues, la probabilité d'obtenir deux grises serait \(p=0{,}5\). Une simulation informatique de 100 séries de 50 tirages donne un nuage de points de fréquences observées, toutes entre 0,10 et 0,40. Ces résultats valident-ils l'hypothèse de Tom ?
2. On note \(g\) le nombre de chaussettes grises, \(b\) le nombre de bleues, \(p\) la probabilité de tirer deux grises. a) Montrer que pour \(b=4,g=12\) : \(p=0{,}55\). b) Calculer \(p\) pour \(b=7,g=18\). c) Sachant \(b=204\), calculer \(g\) pour que \(p=0{,}5\).
3. Sachant que Tom a moins de 250 chaussettes bleues, trouver toutes les répartitions \((g,b)\) possibles conduisant à \(p=0{,}5\).
4. En réalité, Tom n'a que des paires de chaussettes à doigts (une chaussette gauche, une droite, distinctes). Peut-on obtenir une paire assortie grise (une gauche + une droite) avec probabilité \(0{,}5\) ?
1. Sous l'hypothèse \(p=0{,}5\) avec 50 tirages, l'intervalle de fluctuation typique au niveau 95% est \(\left[0{,}5-\frac1{\sqrt{50}}\,;\,0{,}5+\frac1{\sqrt{50}}\right]\) : comparer la proportion de points du nuage qui y tombent à 95%.
2c, 3. \(p=\dfrac g{g+b}\times\dfrac{g-1}{g+b-1}=\dfrac12\) se ramène, après réduction au même dénominateur, à une équation du second degré en \(g\) (à \(b\) fixé) : ne garder que les solutions entières positives, en étudiant quand le discriminant est un carré parfait.
4. Poser \(p_1\) la probabilité d'obtenir une grise gauche puis une grise droite (ou l'inverse), et écrire l'équation \(2p_1p_2=\frac12\) ; étudier le signe de l'expression obtenue pour \(g\) en fonction de \(b\).
1. Les fréquences observées se situent toutes entre 0,10 et 0,40. Seules deux sont dans l'intervalle \(\left[0{,}5-\frac1{\sqrt{50}}\,;\,0{,}5+\frac1{\sqrt{50}}\right]\cong[0{,}36\,;0{,}64]\), loin des 95% théoriques attendus. L'hypothèse de Tom (10 grises, 10 bleues) n'est donc pas validée — les résultats suggèrent plutôt \(p\) proche de \((0{,}10+0{,}40)/2=0{,}25\).
2a. \(p=\dfrac{12}{16}\times\dfrac{11}{15}=\dfrac{11}{20}=0{,}55.\)
2b. \(p=\dfrac{18}{25}\times\dfrac{17}{24}=\dfrac{51}{100}=0{,}51.\)
2c. \(\dfrac g{g+204}\times\dfrac{g-1}{g+203}=\dfrac12\iff(g+204)(g+203)=2g(g-1)\iff g^2-409g-41412=0.\) Discriminant \(\Delta=409^2+4\times41412=332929=577^2\), racines \(g=\dfrac{409\pm577}2\) : \(g=-84\) (rejeté) ou \(\boxed{g=493}\).
3. L'équation \(p=\dfrac g{g+b}\times\dfrac{g-1}{g+b-1}=\dfrac12\) se réécrit \(g^2-(2b+1)g-(b^2-b)=0\), de discriminant \(1+8b^2\) : il faut que \(1+8b^2\) soit un carré parfait, ce qui n'arrive que pour certaines valeurs de \(b\). Avec \(b<250\), on trouve :
| \(b\) | 1 | 6 | 35 | 204 |
|---|---|---|---|---|
| \(\Delta\) | \(9=3^2\) | \(289=17^2\) | \(9801=99^2\) | \(257049=577^2\) |
| \(g\) | 3 | 15 | 85 | 493 |
Répartitions possibles : \((g,b)=(3,1),(15,6),(85,35),(493,204)\).
4. En notant \(p_1=\dfrac g{2g+2b}\) et \(p_2=\dfrac g{2g+2b-1}\) les probabilités de tirer une grise à chaque pied (gauche puis droit, ou l'inverse) : \(2p_1p_2=\dfrac12\iff4g^2=(2g+2b)(2g+2b-1)\iff(8b-2)g=2b-4b^2.\)
Si \(8b-2=0\), alors \(b=\frac14\), impossible (\(b\) entier). Sinon, \(g=\dfrac{2b(1-2b)}{2(4b-1)}=\dfrac{b(1-2b)}{4b-1}\) : comme \(b\geq1\), \(1-2b<0\) et \(4b-1>0\), donc \(g<0\), ce qui est impossible.
Il n'existe donc aucune solution : la probabilité \(0{,}5\) est inatteignable dans ce cas.