Exercice 1 — La baguette de pain (académique, modèle de Hotelling)

1b, 2. Écrire le coût total (prix + transport) comme une fonction affine de la position \(x\), séparément pour chaque boulangerie ; le point d'indifférence est l'intersection des deux droites. Pour l'optimisation du prix en question 2, exprimer le nombre de clients de B (donc son bénéfice) en fonction de \(p\) : c'est une fonction du second degré en \(p\), à maximiser par sommet de parabole.

Partie B. Sur le cercle, la distance entre deux points dépend du sens parcouru (le plus court) : découper le périphérique en plusieurs intervalles selon la position \(x\), et écrire pour chacun le coût vers A et vers B en tenant compte du chemin le plus court à chaque fois.

1a. Pour une personne au-delà de B, le coût de déplacement vers A serait d'au moins \((7-2)\times0{,}05\times2=0{,}5\)€, plus que l'écart de prix (0,2€) : on peut donc restreindre l'étude à \(x\in[2,7]\). Coût baguette A : \(1+0{,}1(x-2)=0{,}1x+0{,}8\). Coût baguette B : \(1{,}2+0{,}1(7-x)=1{,}9-0{,}1x\). Pour Monsieur Castanier (\(x=5\), à 3 km de A et 2 km de B) : coût A \(=0{,}1\times5+0{,}8=1{,}3\)€, coût B\(=1{,}9-0{,}5=1{,}4\)€. Il doit acheter chez A (moins cher).

1b. \(0{,}1x+0{,}8=1{,}9-0{,}1x\iff0{,}2x=1{,}1\iff x=5{,}5.\) La personne à 5,5 km est indifférente (à 3,5 km de A, 1,5 km de B) ; on suppose qu'elle choisit la plus proche, soit B.

1c. 550 personnes choisissent A (positions 0 à 5,49 km), 451 choisissent B (5,5 à 10 km). Bénéfice A \(=(1-0{,}3)\times550=\boxed{385}\)€. Bénéfice B \(=(1{,}2-0{,}3)\times451=\boxed{405{,}90}\)€.

2. A est maintenant à 5 km (prix 1€), B à 7 km (prix \(p\)). Trois cas selon la position \(x\) :

Cas \(x\in[7,10]\) : coût A\(=0{,}1x+0{,}5\), coût B\(=0{,}1x+p-0{,}7\). Cette personne choisit B ssi \(p<1{,}2\).

Cas \(x\in[5,7]\) : coût A\(=0{,}1x+0{,}5\), coût B\(=-0{,}1x+p+0{,}7\). Égalité en \(x=5p+1\) (indifférence, valable pour \(p\in[0{,}8\,;1{,}2]\)). Le nombre de personnes choisissant B, en comptant depuis ce point d'indifférence jusqu'au bout de la route (\(x=10\)) : \(100(10-(5p+1))+1=100(9-5p)+1\).

Bénéfice B \(=(p-0{,}3)\big[100(9-5p)+1\big]=-500p^2+1051p-270{,}3\). Ce polynôme du second degré (concave) admet un maximum en \(p=\dfrac{1051}{2\times500}=1{,}051\), soit \(p=1{,}05\)€ (dans l'intervalle valide \([0{,}8\,;1{,}2]\)), pour un bénéfice de \(-500(1{,}05)^2+1051(1{,}05)-270{,}3=\boxed{282}\)€.

Cas \(x\in[0,5]\) : coût A\(=-0{,}1x+1{,}5\), coût B\(=-0{,}1x+0{,}7+p\). B choisi ssi \(p<0{,}8\) — hors de l'intervalle optimal, cette zone n'apporte aucun client à B au prix optimal.

Conclusion : le bénéfice de B est maximal pour \(p=1{,}05\)€, soit un bénéfice de 282€.

Partie B (périphérique, A à 3 km, B à 7 km de O, sens horaire) :

Position \(x\)	Coût A	Coût B	Indifférence
\([0,2]\)	\(0{,}1(3-x)+1\)	\(0{,}1(3+x)+1{,}2\)	aucune
\([2,3]\)	\(0{,}1(3-x)+1\)	\(0{,}1(7-x)+1{,}2\)	aucune
\([3,7]\)	\(0{,}1(x-3)+1\)	\(0{,}1(7-x)+1{,}2\)	\(x=6\)
\([7,8]\)	\(0{,}1(x-3)+1\)	\(0{,}1(x-7)+1{,}2\)	aucune
\([8,10[\)	\(0{,}1(13-x)+1\)	\(0{,}1(x-7)+1{,}2\)	\(x=9\)

Il existe deux positions d'indifférence sur le périphérique : \(x=6\) et \(x=9\).