Sujet
Dans cet exercice, on fixe un quadrillage et on s'intéresse aux domaines du plan délimités par un contour, à savoir une ligne polygonale fermée dont tous les côtés s'appuient sur le quadrillage.
Voici comment définir le nombre de Green du domaine correspondant à la Figure 1 : on fait le tour du domaine en partant du sommet du contour situé à gauche en haut, A dans notre exemple (Figure 2), et on se déplace sur le contour dans le sens opposé aux aiguilles d'une montre (« sens trigonométrique ») ; on compte les pas effectués en appliquant les règles suivantes : un déplacement vers le bas est compté négativement, un déplacement vers le haut est compté positivement et un déplacement horizontal, vers la gauche ou la droite, compte pour zéro. De plus, un déplacement vertical est multiplié par un coefficient entier d'autant plus élevé que l'on s'éloigne de A (Figure 2).
On ajoute toutes les valeurs obtenues : \(1\times(-2)+2\times(-1)+4\times(+2)+5\times(+2)+3\times(-1)=11\) ; c'est le nombre de Green du domaine de la Figure 1.
Figure 1 (domaine) et Figure 2 (coefficients par colonne verticale)
Questions
1. a) Calculer le nombre de Green du domaine de la Figure 3 (cf. Annexe).
b) Comment s'effectue le calcul sur la Figure 2 lorsque l'on change de point de départ tout en gardant les mêmes coefficients ?
c) Dessiner sur la Figure 4 de l'annexe un domaine dont le nombre de Green vaut 7.
2. a) On scinde le domaine précédent selon une droite verticale du quadrillage (Figure 5). Calculer la somme des nombres de Green de chacun des domaines obtenus et comparer au nombre de Green du domaine initial. Le résultat dépend-il de la droite verticale choisie ?
b) La propriété est-elle conservée si on coupe avec une droite horizontale du quadrillage ?
c) Comment définir le nombre de Green à partir d'un domaine comportant un « trou » (Figure 6) ?
3. a) Combien vaut le nombre de Green d'un carré de côté 1 ?
b) Que représente le nombre de Green ?
Annexe (à remettre avec la copie) — Figures 3 à 6
1.a) Reprendre la même méthode que pour la Figure 1 : repérer le point de départ « en haut à gauche », placer les coefficients de colonne en colonne, puis sommer coefficient × déplacement vertical pour chaque côté vertical.
2.a) Après avoir scindé le domaine, chaque côté vertical du domaine initial se retrouve entièrement dans l'un des deux sous-domaines, sauf le nouveau côté créé par la coupe qui apparaît dans les deux (avec des signes opposés).
3.a-b) Utiliser la question 2 pour décomposer n'importe quel domaine en carrés élémentaires de côté 1.
1.a) En plaçant les coefficients sur la Figure 3 comme pour la Figure 1 : \(N=(-3)\times1+1\times3+1\times2+(-2)\times7+3\times9+1\times5+(-1)\times2=18\).
1.b) Le nombre de Green est une somme \(N=c_1y_1+\cdots+c_ny_n\) où \(y_i\) est le \(i\)-ième déplacement vertical. En changeant de point de départ B (à un déplacement horizontal près, sur un côté vertical), deux points de vue sont possibles : soit on garde les coefficients d'origine et on reconstitue terme à terme la même somme \(N\) en parcourant le contour depuis B ; soit on « décale » les coefficients pour redémarrer à 1 en B, ce qui revient à soustraire à chaque coefficient un même décalage \(r\) (la différence des abscisses de A et B). On développe alors \(N'=\sum(c_i-r)y_i=\sum c_iy_i - r\sum y_i\) ; or \(\sum y_i=0\) car le contour revient à son point de départ, donc \(N'=N\) : le nombre de Green ne dépend pas du point de départ choisi.
1.c) Toute figure d'aire 7 convient (à condition de justifier la valeur trouvée pour le domaine dessiné).
2.a) Sur la Figure 5, le domaine de gauche a un nombre de Green \(N_1=-3+3+2+8-2=8\), celui de droite \(N_2=-8-14+27+5=10\), et \(N_1+N_2=18=N\) trouvé en 1.a). Le résultat ne dépend pas de la droite verticale choisie : en notant \(N=c_1y_1+\cdots+c_ny_n\) le nombre de Green avant scission, le nouveau côté vertical créé par la coupe intervient dans le calcul des deux sous-domaines avec le même coefficient mais un signe opposé, donc s'annule dans la somme \(N_1+N_2\), qui reconstitue exactement \(N\).
2.b) Oui, la propriété est conservée pour une coupe horizontale : les côtés verticaux coupés en deux se séparent en \(y_k=y'_k+y''_k\) (les deux nouveaux coefficients ont le même signe), donc \(c_ky_k=c_ky'_k+c_ky''_k\) ; chaque terme intervient une seule fois, soit dans le domaine inférieur, soit dans le supérieur, ce qui redonne \(N=N_1+N_2\).
2.c) Pour un domaine comportant un trou, on calcule le nombre de Green du domaine global (sans tenir compte du trou), et on soustrait le nombre de Green du domaine définissant le trou.
3.a) Le nombre de Green d'un carré de côté 1 vaut 1 : en notant \(c_k\) le coefficient du côté gauche, les côtés verticaux ont pour coefficients \(c_k\) et \(c_k+1\), d'où \(N=(-1)\times c_k+1\times(c_k+1)=1\).
3.b) En découpant tout domaine par des droites horizontales et verticales du quadrillage jusqu'à obtenir des carrés élémentaires de côté 1, la question 2 montre que le nombre de Green initial est la somme des nombres de Green de ces carrés, donc égal au nombre de carrés : le nombre de Green mesure l'aire du domaine, comptée en unités d'aire (un carré de côté 1).