Olympiades · Académique Nantes · 2016 · Série S
Deux personnes envisagent le jeu suivant : \(n\) boules, des boules noires et des boules blanches, indiscernables, sont placées dans un sac. Un des joueurs tire une première boule au hasard, ne la remet pas dans le sac, puis en tire une deuxième. Il gagne une partie si les deux boules tirées sont de couleurs différentes.
Le but de cet exercice est de connaître le contenu d'un sac qui rende le jeu équitable, c'est-à-dire qui donne au tireur la probabilité \(\dfrac{1}{2}\) de tirer deux boules de couleurs différentes.
On note \(a\) le nombre de boules blanches dans le sac (\(a\) vérifie naturellement l'encadrement \(2 \leqslant a \leqslant n\)).
Question. Quels sont, pour \(n \leqslant 50\), les couples \((a,n)\) rendant le jeu équitable ?
Nota bene. Les copies apportant deux solutions de natures différentes seront valorisées par le jury.
Construire un arbre de probabilité pour les deux tirages successifs sans remise, exprimer la probabilité de tirer deux couleurs différentes en fonction de \(a\) et \(n\), puis traduire l'égalité à \(\dfrac12\) en une égalité entre \(n\) et un carré parfait.
Après construction d'un arbre, la probabilité de tirer une blanche puis une noire vaut \(\dfrac{a}{n}\times\dfrac{n-a}{n-1}\), et tirer une noire puis une blanche vaut \(\dfrac{n-a}{n}\times\dfrac{a}{n-1}\). Par somme, la probabilité de tirer deux boules de couleurs différentes est \(\dfrac{2a(n-a)}{n(n-1)}\).
Le jeu est équitable si et seulement si \(\dfrac{2a(n-a)}{n(n-1)}=\dfrac12\), ce qui équivaut à \(n=(2a-n)^2\). Ainsi \(n\) est un carré parfait : il existe un entier \(k\) tel que \(n=k^2\), et l'équation devient \(k^2=(2a-k^2)^2 \Leftrightarrow 2a=k^2+k\) ou \(2a=k^2-k\).
Les possibilités pour \(a\) sont donc \(a=\dfrac{k(k+1)}{2}\) ou \(a=\dfrac{k(k-1)}{2}\) (la somme des deux vaut \(k^2=n\)).
La condition \(2 \leqslant n \leqslant 50\) entraîne \(1 \leqslant k \leqslant 7\). On obtient les couples \((a,n)\) suivants : \((1,4),(3,4),(3,9),(6,9),(6,16),(10,16),(10,25),(15,25),(15,36),(21,36),(21,49),(28,49)\).