Olympiades · Académique Nantes · 2016 · Toutes séries
Aïssa et Paul le Poulpe jouent au jeu du court-circuit dont voici les règles. À chaque tour, les joueurs choisissent en secret un nombre entier entre 1 et 6, puis les valeurs choisies sont révélées simultanément.
Le but du jeu est de marquer au moins 21 points.
1. Voici le déroulement de leur première partie (elle a duré six coups) :
| Choix d'Aïssa | 6 | 5 | 5 | 5 | 6 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Choix de Paul | 4 | 5 | 4 | 3 | 4 | 5 |
Justifier qu'Aïssa remporte la partie avec 26 points contre 9.
2. Au cours de la seconde partie, Aïssa est à 13 points et Paul à 14. Au coup suivant : a) Aïssa peut-elle gagner ? b) Aïssa peut-elle atteindre exactement un score de 21 points ?
3. Au cours du déroulement d'une troisième partie, Aïssa est à 20 points et Paul à 10. Quel coup conseiller à Aïssa ? Argumenter.
4. Décrire la partie la plus courte possible à ce jeu.
Paul est un poulpe et par conséquent il joue au hasard : il choisit sa valeur entre 1 et 6 de manière équiprobable. Proposer une stratégie de jeu gagnante pour Aïssa. En quoi est-ce une stratégie gagnante ? Estimer le nombre de points qu'elle peut espérer gagner à chaque coup.
Dans cette nouvelle partie, Paul choisit toujours au hasard et de manière équiprobable, mais seulement parmi les valeurs 4, 5, 6. Existe-t-il une stratégie permettant de battre le poulpe ? Existe-t-il une stratégie meilleure que les autres ?
Soit \(p\) un réel de l'intervalle \(]0\,;\,1[\). Dans cette partie, Paul joue la valeur 5 avec probabilité \(p\) et la valeur 6 avec probabilité \(1-p\). Pour contrer cette stratégie, Aïssa décide de jouer aléatoirement 4, 5 ou 6 avec les probabilités respectives \(x\), \(y\) et \(1-x-y\), \(x\) et \(y\) désignant deux réels de l'intervalle \(]0\,;\,1[\). Quelles sont les valeurs du couple \((x,y)\) qui permettent de battre la stratégie du poulpe ? Existe-t-il un choix optimal ?
Important : dans chaque exercice, l'utilisation d'algorithme peut constituer un élément de réponse valable qui sera valorisé par le jury, à condition de le rédiger soigneusement sur la copie et d'indiquer en détail les simulations effectuées.
A.1. Traiter coup par coup avec les trois règles ; repérer notamment le court-circuit au 3e coup (Paul joue 1 de moins qu'Aïssa).
B. Dresser le tableau des 36 issues possibles (choix d'Aïssa en ligne, choix de Paul en colonne) et calculer le gain moyen pour chaque choix fixe d'Aïssa.
C. Même méthode que B, en restreignant Paul à {4,5,6}.
D. Exprimer le gain moyen d'Aïssa en fonction de \(x\), \(y\), \(p\), puis étudier le signe de cette expression affine en \(x\) et \(y\).
A.1. Coup 1 : 6 contre 4 (diff. ≥ 2), Aïssa marque 6. Coup 2 : égalité, 0 partout. Coup 3 : Paul (4) est un point en dessous d'Aïssa (5) → Paul court-circuite et marque 9. Coup 4 : 5 contre 3, Aïssa marque 5. Coup 5 : 6 contre 4, Aïssa marque 6. Coup 6 : Aïssa (4) un point en dessous de Paul (5) → Aïssa court-circuite et marque 9. Total : Aïssa \(6+0+0+5+6+9=26\), Paul \(0+0+9+0+0+0=9\).
A.2. a) Le score maximal en un coup est 6 (dépassement d'au moins 2) : Aïssa ne peut pas remonter de 13 à plus que Paul en un seul coup si Paul ne joue pas — en réalité il faut comparer les scores après le coup ; avec un coup gagnant à 6 points Aïssa atteindrait 19, ce qui ne dépasse pas 14+ (Paul peut aussi marquer) : la question porte sur l'atteinte du seuil de victoire (21 points), donc non en un coup. b) Un score de 21 exactement demande un gain de 8 en un coup, impossible (maximum 9 par court-circuit, mais 8 n'est atteignable par aucune des règles) — il est impossible de marquer 8 points en un coup.
A.3. Aïssa doit éviter de jouer 6 (qui laisse à Paul la possibilité de jouer 5 et de court-circuiter Aïssa, marquant 11 points et remportant la partie). On conseille de jouer 4, anticipant sur un éventuel 5 de Paul (seul moyen pour Paul de gagner en un coup).
A.4. La partie la plus courte possible s'obtient avec deux courts-circuits successifs à 11 points chacun (22 points en 2 coups).
B. Le gain moyen d'Aïssa pour chacun de ses choix (moyenne sur les 6 choix de Paul) est : jouer 1 → −2,50 ; 2 → −2,17 ; 3 → −1,00 ; 4 → 0,67 ; 5 → 2,83 ; 6 → 2,17. La meilleure stratégie est de jouer systématiquement 5, pour un gain moyen de 2,83 points par coup.
C. Paul restreint à {4,5,6} : le gain moyen d'Aïssa devient : jouer 1 → −5,00 ; 2 → −5,00 ; 3 → −1,33 ; 4 → 1,00 ; 5 → 0,67 ; 6 → −1,67. La meilleure stratégie consiste à jouer systématiquement 4.
D. Le gain moyen d'Aïssa vaut \(\text{Gain}=(26p-6)x+11y-11p\). Il est positif si et seulement si \(y \geqslant \dfrac{6-2p}{11}x+p\). On montre qu'Aïssa ne doit jamais jouer 6 (soit \(x+y=1\)), ce qui ramène la condition à \((17-26p)x \leqslant 1-p\). La valeur \(p=\dfrac{17}{26}\) est donc critique pour la partie : c'est le seuil où la stratégie optimale d'Aïssa bascule.