Exercice 4 — Les liponombres — Olympiades 2014 Nantes

Sujet

Un lipogramme est un texte d'où une lettre est délibérément exclue (ex : La Disparition de Georges Perec, sans « e »). On appelle liponombre un entier \(<10^{12}\) dont l'écriture en toutes lettres ne contient pas la lettre « e » (par convention, \(0\) — « zéro » — n'est pas un liponombre).

1a. Écrire en toutes lettres les liponombres \(\leq10\). 1b. Lister les 12 liponombres \(\leq30\).

2a. Montrer qu'il n'y a pas d'autre liponombre \(<10^6\) que ceux de la question 1b. 2b. Combien de liponombres \(<10^9\) ?

3. Déterminer le nombre total \(N\) de liponombres (rappel : \(<10^{12}\)).

4a. Quel est le plus grand liponombre ? 4b. Celui qui s'écrit avec le plus de lettres ?

5. En rangeant les liponombres par ordre croissant : a) quel est le 13ᵉ ? le 169ᵉ ? b) quel est le 2014ᵉ ?

6. Georges Perec a aussi écrit Les Revenentes (1972), un monovocalisme en « e » : seule la voyelle « e » est autorisée (a, i, o, u, y interdits). Déterminer le nombre d'entiers \(<10^{12}\) vérifiant cette propriété.

2a. Examiner les mots « trente », « quarante », ..., « quatre-vingt-dix » (30 à 90), puis « cent » et « mille » : contiennent-ils tous la lettre « e » ?

2b, 3. « million » et « milliard » ne contiennent pas de « e » : un liponombre \(<10^9\) (resp. \(<10^{12}\)) s'écrit donc comme un assemblage de « blocs de millions/milliards » eux-mêmes formés à partir des 12 liponombres \(\leq30\) (plus le cas « rien », c'est-à-dire 0, pour un bloc absent).

6. Chercher, parmi les mots de la numération française, lesquels n'utilisent que la voyelle « e » (et aucune autre voyelle) : très peu de mots-clés (unité, dizaine, centaine) conviennent, ce qui limite fortement les possibilités combinables.

1a. un, trois, cinq, six, huit, dix.

1b. \(1,3,5,6,8,10,18,20,23,25,26,28\) (les mots « dix-sept », « vingt-et-un », etc. contiennent tous un « e », de même que tous les autres nombres de 11 à 30).

2a. Les mots des dizaines de 30 à 90 (trente, quarante, cinquante, soixante, soixante-dix, quatre-vingts, quatre-vingt-dix) contiennent tous la lettre « e » : aucun nouveau liponombre entre 30 et 99. Les nombres de 100 à 999 utilisent le mot « cent » (qui contient un « e »), ceux de 1000 à 999999 le mot « mille » (idem) : les seuls liponombres \(<10^6\) sont donc les 12 de la question 1b.

2b. Le mot « million(s) » ne contient pas de « e ». Un liponombre entre \(10^6\) et \(10^9-1\) s'écrit \(b\times10^6+a\) où \(b\) est l'un des 12 liponombres \(\leq30\) (nombre de millions) et \(a\) est \(0\) ou l'un des 12 liponombres \(\leq30\) (13 choix) : soit \(12\times13=156\) liponombres dans cette tranche. Au total, \(12+156=\boxed{168}\) liponombres \(<10^9\).

3. De même, « milliard(s) » ne contient pas de « e ». Un liponombre \(<10^{12}\) s'écrit \(c\times10^9+b\times10^6+a\), avec \(a,b,c\) chacun choisi parmi \(\{0\}\cup\{\)12 liponombres \(\leq30\}\) (13 choix chacun), sauf le triplet \((0,0,0)\) exclu (qui correspondrait à \(0\)) : \(N=13^3-1=\boxed{2196}\) liponombres.

⚠️ Le corrigé source liste l'ensemble des 13 valeurs possibles comme \(\{0,1,3,5,6,8,10,\mathbf{17},18,20,23,25,28\}\) — 17 est une coquille : « dix-sept » contient un « e » (dans « sept »), donc 17 n'est pas un liponombre. La valeur correcte, cohérente avec la liste établie en question 1b, est 26 (« vingt-six », sans « e »). Cette coquille ne change toutefois pas le résultat final \(N=13^3-1=2196\), qui ne dépend que du nombre d'éléments de l'ensemble (13), pas de leur valeur précise.

4a. Le plus grand liponombre utilise la plus grande valeur (\(28\)) à chaque position : \(28\times10^9+28\times10^6+28\).

4b. Le mot le plus long parmi les 12 est « vingt-trois » (\(23\)) : le liponombre avec le plus de lettres est \(23\times10^9+23\times10^6+23\).

5a. Les 12 premiers liponombres couvrent les rangs 1 à 12 ; le 13ᵉ est donc le plus petit liponombre \(\geq10^6\), soit \(1\times10^6=\boxed{10^6}\). Les rangs 13 à 168 couvrent la tranche des millions (156 valeurs) ; le 169ᵉ est donc le plus petit liponombre \(\geq10^9\), soit \(\boxed{10^9}\).

5b. \(2014=11\times13^2+11\times13+12\) (\(1859+143+12=2014\)). En indexant les 13 valeurs possibles \(\{0,1,3,5,6,8,10,18,20,23,25,26,28\}\) par leur rang (le 11ᵉ liponombre non nul est \(26\), le 12ᵉ est \(28\)) : le 2014ᵉ liponombre est \(26\times10^9+26\times10^6+28\).

6. Seuls quelques mots de la numération n'utilisent que la voyelle « e » : « sept » (7, unique cas de 1 à 10), « trente » (30, unique dizaine), « cent » (100, unique centaine) — « mille », « million », « milliard » contiennent tous une autre voyelle (i, o) et sont donc exclus, ce qui limite les nombres valides à moins de 1000. En combinant librement centaines \(\in\{0,100,700\}\) (« cent », « sept cents »), dizaines \(\in\{0,30\}\) et unités \(\in\{0,7\}\) (en excluant la combinaison \((0,0,0)=0\)) :

\(7,30,37,100,107,130,137,700,707,730,737\) — soit 11 entiers.

Exercice 4 — Les liponombres (académique)

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