Olympiades · Académique Nantes · 2014 · Séries non scientifiques
Un entier \(A>0\) est dit quadripartite s'il existe 4 entiers positifs \(a,b,c,d\) et un entier positif \(m\) tels que \(A=a+b+c+d\), et tels que \(a+m\), \(b-m\), \(c\times m\), \(\frac dm\) soient égaux. \(m\) est l'opérateur de \(A\). Exemple : \(A=8\), \(m=1\), \(a=1,b=3,c=2,d=2\).
1. Vérifier que \(500\) est quadripartite d'opérateur \(4\), éléments \(a=76,b=84,c=20,d=320\).
2. Vérifier que \(16\) est quadripartite d'opérateur \(1\).
3. Vérifier que \(288\) est quadripartite d'opérateur \(2\) et d'opérateur \(3\).
4. On considère un algorithme (voir sujet, annexe) qui, pour \(A\) donné, teste chaque \(m\) de 1 à \(A\) et affiche \((a,b,c,d,m)\) si \(A\) est multiple de \((m+1)^2\), avec \(c=\frac A{(m+1)^2}\), \(a=m(c-1)\), \(b=m(c+1)\), \(d=m^2c\). a) Appliquer pour \(A=8\). b) Pour \(A=10\). c) Pour \(A=36\), et comparer les trois cas. d) Que peut-on dire de \(A\) si l'algorithme affiche au moins une fois un résultat ? Justifier.
5. Démontrer que \(18\,126\) est quadripartite et n'a qu'un seul opérateur ; donner ses éléments.
4d. Vérifier, à partir des formules de l'algorithme, que la somme \(a+b+c+d\) redonne toujours \(A\) (identité \((m+1)^2=m^2+2m+1\)), et réciproquement que \(c=A/(m+1)^2\) doit être entier pour qu'un opérateur \(m\) existe.
5. Décomposer \(18126\) en facteurs premiers et chercher les diviseurs carrés parfaits \(>1\).
1. \(76+84+20+320=500\) ✓, valeur commune \(80\).
2. \(A=16,m=1\) : \(a=3,b=5,c=4,d=4\). \(3+5+4+4=16\) ✓, valeur commune \(4\).
3. Opérateur \(2\) : \(a=62,b=66,c=32,d=128\) (somme \(288\)). Opérateur \(3\) : \(a=51,b=57,c=18,d=162\) (somme \(288\)).
4a. \(A=8\) : seul \(m=1\) donne un affichage (\(a=1,b=3,c=2,d=2\)) ; pour \(m=2\) à \(8\), \(8\) n'est divisible par aucun \((m+1)^2\).
4b. \(A=10\) : aucun \(m\) de 1 à 10 ne donne de division exacte par \((m+1)^2\) — aucun affichage.
4c. \(A=36\) : trois opérateurs conviennent.
| \(m\) | 1 | 2 | 5 |
|---|---|---|---|
| \(a,b,c,d\) | 8,10,9,9 | 6,10,4,16 | 0,10,1,25 |
On remarque que \(8\) n'a qu'un seul opérateur, \(10\) n'en a aucun, et \(36\) en a trois.
4d. Si l'algorithme affiche un résultat pour un \(m\) donné, avec \(a=m(c-1)\), \(b=m(c+1)\), \(c=\frac A{(m+1)^2}\), \(d=m^2c\) : on vérifie \(a+b+c+d=m^2c+2mc+c=(m+1)^2c=A\), et \(a+m=b-m=cm=\frac dm\) (valeur commune \(cm\)). \(A\) est donc quadripartite d'opérateur \(m\), d'éléments \(a,b,c,d\). Réciproquement, si \(A\) est quadripartite d'opérateur \(m\), les mêmes égalités imposent \(c=\dfrac A{(m+1)^2}\), qui doit être entier.
5. \(18126=9\times2014=2\times3^2\times19\times53\). Seul \(9=3^2\) est un carré \(>1\) divisant \(18126\) : \(m=2\) est l'unique opérateur, avec \(c=2014\), \(a=4026\), \(b=4030\), \(d=8056\).