Olympiades · Académique Nantes · 2013 · Série non scientifique (ES-L)
DénombrementInégalitésGéométrie planeGéométrie espace
On dispose d'un dé cubique standard (faces opposées de somme 7) et d'une feuille quadrillée aux cases de la taille des faces du dé. On place le dé sur une case, on note le numéro de la face contre la feuille. À chaque étape, on fait basculer le dé autour d'une arête de sa base, et on note à nouveau le numéro de la face contre la feuille. Un parcours est une succession d'étapes ; \(S\) est la somme de tous les nombres notés.
Exemple (ligne droite) : dé sur la face « 1 », parcours en ligne droite sur 5 étapes : \(S=1+5+6+2+1+5=20\).
1. Parcours en spirale. Départ face « 1 », bascule vers la droite puis parcours en spirale (numéro après la 1ʳᵉ étape : 2). Donner la liste des dix premiers nombres notés et calculer \(S\).
2. Parcours en carré. Départ en case A1, face « 1 », le dé parcourt un carré de cases (figure). a) Quels nombres apparaissent en E1, E5, A5 ? b) Après plusieurs tours, on a obtenu la somme 2013 : sur quelle case s'arrête-t-on, et quel numéro était en B1 au premier passage ?
3. Parcours libre. On ne peut pas revenir sur la case précédente (3 possibilités à chaque étape à partir de la 2ᵉ). a) On obtient 6 de 3 façons (\(6=1+2+3=1+3+2=1+5\)). De combien de façons obtient-on 8 ? b) Plus petite somme d'un parcours qui revient au départ ? c) Au bout de 2013 étapes, plus petite valeur possible de \(S\), et numéro final ?
4. Longueur de trajectoires (dé = cube d'arête 1 cm). a) Longueur de l'arc de cercle décrit par le centre du dé à chaque étape. b) Distance totale parcourue par le centre du dé lors du parcours de la question 3c. c) Longueur de la trajectoire du centre de la face « 1 » lors de ce même parcours.
3c. Chercher un motif de 3 étapes qui revient systématiquement sur la face « 1 » avec la somme la plus petite possible (comparer aux valeurs de la question 3b), puis répéter ce motif autant de fois que possible dans 2013 étapes (\(2013=3\times671\)).
4a. Le centre du cube, lors du basculement autour d'une arête, décrit un quart de cercle dont le rayon est la distance du centre du cube à cette arête — pour un cube d'arête 1, cette distance est la moitié de la diagonale d'une face, \(\dfrac{\sqrt2}2\).
4c. Le centre de la face « 1 » ne suit pas toujours le même rayon : distinguer les étapes où l'arête de rotation appartient à la face « 1 » elle-même (rayon plus petit) de celles où l'arête ne touche la face « 1 » qu'en un sommet (rayon plus grand, lié à \(\sqrt2\)).
1. Les nombres notés sont les compléments à 7 respectifs des faces successivement affichées par le dé au fil de la spirale. Au bout des dix premières étapes (11 nombres notés au total, départ compris) : \(S=1+2+3+1+4+2+3+1+4+6+2=29\).
2a. Il y a quatre parcours possibles selon le premier basculement, mais les cases E1, E5, A5 affichent toujours 1 (et de même A3, C1, C5, E3 affichent toujours 6).
2b. Un tour complet (4 côtés) rapporte 4 fois la somme 14, soit un total de \(4\times14=56\) par tour. Comme \(2013=56\times35+53\), on a effectué 35 tours complets, et le 36ᵉ tour doit apporter 53. La seule possibilité d'obtenir \(56-3\) est de s'arrêter en A3 sur la face 6 (avec 3 en A2) : la dernière série est 1 ; 4 ; 6, ce qui impose de débuter le parcours par 1 ; 2 ; 6. En B1 (premier passage) : 2. On s'arrête en A3.
3a. On peut obtenir 8 de 2 façons : \(8=1+2+4+1=1+4+2+1\).
3b. La plus petite somme avec retour au départ est \(S=1+2+3+1+2=\boxed9\).
3c. Pour \(S\) minimal, on répète la séquence \(1{,}2{,}3\) (ou \(1{,}3{,}2\)) : toutes les trois étapes, on revient sur la face « 1 ». Comme \(2013=3\times671\), le parcours consiste en 671 blocs identiques, et le numéro inscrit dans la case finale est 1.
4a. Sur un cube d'arête 1, la distance du centre du cube à une arête de la base est la moitié de la diagonale d'une face : \(IO=\dfrac{\sqrt2}2\) cm. Le centre parcourt un quart de cercle de ce rayon, de longueur \(\dfrac\pi2\times\dfrac{\sqrt2}2=\dfrac{\pi\sqrt2}4\) cm.
4b. Sur les 2013 étapes du parcours de la question 3c, chaque étape fait parcourir au centre du cube la même distance qu'en 4a : distance totale \(=2013\times\dfrac{\pi\sqrt2}4=\dfrac{2013\pi\sqrt2}4\) cm.
4c. Le centre de la face « 1 » décrit, à chaque étape, un quart de cercle dont le rayon dépend du type de rotation : rayon \(\dfrac12\) si l'arête de rotation appartient à la face « 1 » (étapes \(1\!-\!2\), \(2\!-\!1\), \(1\!-\!3\), \(3\!-\!1\)), rayon \(\dfrac{\sqrt2}2\) si l'arête ne touche la face « 1 » qu'en un sommet (étapes \(2\!-\!3\), \(3\!-\!2\)). Dans chaque bloc de 3 étapes \((1,2,3)\) du parcours minimal, il y a deux étapes du premier type et une du second :
\[671\times\frac\pi2\times\left(\frac12+\frac12+\frac{\sqrt2}2\right)=\boxed{\frac{671\pi}4(2+\sqrt2)}\text{ cm.}\]