Olympiades · Académique Nantes · 2013 · Série non scientifique (ES-L)
ArithmétiqueInégalités
Une calculatrice un peu spéciale ne comporte que 13 touches : les 9 chiffres de 1 à 9, les deux parenthèses, une touche « = », et une touche opératoire \(\odot\) qui vérifie pour tous nombres \(a\) et \(b\) : \(a\odot b=2-\dfrac ab\). Exemple : \(2\odot4=2-\frac24=\frac32\).
1a. Calculer \(2\odot1\), \(2\odot(3\odot3)\), \(5\odot5\). 1b. La séquence \(3\odot(2\odot1)\) donne MathErreur : pourquoi ? Un exemple sans le 1 ? 1c. Calculer \(a\odot a\), \(a\odot1\), \(1\odot a\).
2. \(a,b,c\) sont des chiffres de 1 à 9. Vrai ou faux, avec justification : a) il existe \(a\neq b\) tels que \(a\odot b=b\odot a\). b) pour tous \(a,b,c\) : \((a\odot b)\odot c=a\odot(b\odot c)\).
3. On tape \(a\odot b\) au hasard. a) Valeur minimale et sa probabilité. b) Probabilité d'obtenir \(\frac53\).
4. Calculer \((a\odot1)\odot1\) et \((a\odot2)\odot1\). Trouver une séquence opératoire permettant d'obtenir \(\dfrac ab\).
3a. \(a\odot b=2-\frac ab\) est décroissante en \(\frac ab\) : la minimiser revient à maximiser \(a\) et minimiser \(b\).
4. Calculer d'abord \((a\odot1)\odot1\) et \((a\odot2)\odot1\) pour deviner la formule générale de \((a\odot b)\odot1\) en fonction de \(a\) et \(b\), puis la démontrer en développant \(2-\frac{2-a/b}1\).
1a. \(2\odot1=2-\frac21=0\) ; \(2\odot(3\odot3)=2\odot1=0\) ; \(5\odot5=2-\frac55=1\).
1b. \(3\odot(2\odot1)\) donne MathErreur car \(2\odot1=0\), division par 0 impossible. Sans le 1 : par exemple \(3\odot(4\odot2)\) (plus généralement \(a\odot(2b\odot b)\)).
1c. \(a\odot a=2-\frac aa=1\) ; \(a\odot1=2-a\) ; \(1\odot a=2-\frac1a\).
2a. \(a\odot b=b\odot a\iff\frac ab=\frac ba\iff a^2=b^2\iff a=b\) (car \(a,b>0\)). Affirmation fausse.
2b. Contre-exemple : \(2\odot(3\odot3)=0\) mais \((2\odot3)\odot3=\frac43\odot3=2-\frac49=\frac{14}9\neq0\). Affirmation fausse.
3a. Minimal quand \(\frac ab\) est maximal : \(a=9,b=1\), \(a\odot b=2-9=-7\). \(P=\dfrac1{81}\) (un seul couple favorable sur 81).
3b. \(a\odot b=\frac53\iff\frac ab=\frac13\iff b=3a\) : couples \((1,3),(2,6),(3,9)\). \(P=\dfrac3{81}=\dfrac1{27}\).
4. \(a\odot1=2-a\), donc \((a\odot1)\odot1=2-(2-a)=a\). \(a\odot2=2-\frac a2\), donc \((a\odot2)\odot1=2-\left(2-\frac a2\right)=\dfrac a2\).
Plus généralement : \((a\odot b)\odot1=\left(2-\dfrac ab\right)\odot1=2-\left(2-\dfrac ab\right)=\dfrac ab\).
La séquence \((a\odot b)\odot1\) donne exactement \(\dfrac ab\).
Toutes les valeurs de cette correction ont été recalculées indépendamment et confirmées exactes.