Exercice 3 — Histoires de prix — Olympiades 2016 Aix-Marseille

Sujet

Manon décide d'aller faire du shopping et sa mère lui donne de l'argent. Elle se rend dans 5 magasins différents, et dépense dans chacun d'entre eux \(10\,€\) de plus que la moitié de la somme dont elle disposait en entrant. À la fin, elle a tout dépensé.
a) De combien d'argent disposait-elle en entrant dans le dernier magasin ?

b) Quelle somme d'argent lui avait donnée sa mère au départ ?
Manon achète deux articles dans une supérette. Le commerçant, par étourderie, multiplie les prix au lieu de les ajouter. Fort heureusement, cela ne modifie pas le résultat qui est de \(4{,}90\,€\). Quels sont les prix des deux articles ?
Ce même commerçant vend en exclusivité des CDSupers et des DVDExtras. Il y a exactement 1 € d'écart entre le prix de 5 CDSupers et celui de 3 DVDExtras (mais on ne sait pas ce qui est le plus cher), et 1 € d'écart entre le prix de 18 CDSupers et celui de 11 DVDExtras (et on ne sait pas non plus ce qui est le plus cher). Échangeriez-vous gratuitement vos 21 CDSupers contre 13 DVDExtras ?

1.a) Dans le magasin n°5, Manon a dépensé 10 € de plus que la moitié de la somme qu'elle avait en y entrant. Comme il ne lui reste plus rien, les 10 € représentent la moitié de la somme : elle disposait donc de 20 € en entrant dans le magasin n°5.

b) Dans chaque magasin, la somme qui lui reste, augmentée de 10 €, représente la moitié de ce qu'elle avait en y entrant — donc la somme d'entrée est \(2\times(\text{reste}+10)\). En remontant : avant le magasin n°4, elle avait \(2(20+10)=60\) € ; avant le n°3, \(2(60+10)=140\) € ; avant le n°2, \(2(140+10)=300\) € ; avant le n°1, \(2(300+10)=620\) €. Sa mère lui avait donc donné 620 €.

2. En notant \(x\) et \(y\) les prix des deux articles, \((x\,;\,y)\) est solution du système \(\begin{cases}xy=4{,}9\\x+y=4{,}9\end{cases}\). Par substitution : \(x(4{,}9-x)=4{,}9 \Leftrightarrow -x^2+4{,}9x-4{,}9=0\). Le discriminant vaut \(\Delta=4{,}9^2-4\times4{,}9=4{,}41=2{,}1^2>0\), d'où deux solutions \(x_1=3{,}5\) et \(x_2=1{,}4\) (et \(y\) l'autre valeur dans chaque cas). Les deux articles valent donc 1,40 € et 3,50 €.

3. En notant \(c\) le prix d'un CDSuper et \(d\) celui d'un DVDExtra, on a \(5c-3d=\pm1\) et \(18c-11d=\pm1\), ce qui donne 4 systèmes possibles :

\(S_1:\begin{cases}5c-3d=1\\18c-11d=1\end{cases}\Rightarrow c=8,\,d=13\) ; \(\quad S_2:\begin{cases}5c-3d=1\\18c-11d=-1\end{cases}\Rightarrow c=14,\,d=23\) ; \(\quad S_3, S_4\) (avec \(5c-3d=-1\)) donnent des prix négatifs, donc à écarter.

Seuls \(S_1\) et \(S_2\) donnent des prix positifs acceptables. Comparons \(21c\) et \(13d\) dans chaque cas : avec \(S_1\), \(21\times8=168\) contre \(13\times13=169\) ; avec \(S_2\), \(21\times14=294\) contre \(13\times23=299\). Dans les deux cas, 13 DVDExtras valent légèrement plus que 21 CDSupers : il est donc financièrement intéressant d'échanger ses 21 CDSupers contre 13 DVDExtras.