Sujet
Cet exercice permet d'étudier la possibilité de faire traverser certains objets (des figures planes et un solide) par des objets de même forme, mais de dimensions plus grandes.
Partie A — Traversées dans le plan
On appelle diamètre d'un polygone régulier la plus grande distance possible entre deux points de ce polygone. De même, on appelle hauteur d'un polygone régulier la distance :
- entre un sommet et son côté opposé lorsque ce polygone possède un nombre impair de sommets ;
- entre deux côtés parallèles lorsque ce polygone possède un nombre pair de sommets.
- On considère un carré \(C_1\) de côté 1 unité (figure ci-contre).
a) Quel est son diamètre ? Quelle est sa hauteur ?
b) Est-il possible de faire passer un carré de côté 1,4 unité à travers le carré \(C_1\) ?
- On considère un triangle équilatéral \(T_1\) de côté 1 unité.
a) Quel est son diamètre ? Quelle est sa hauteur ?
b) Quelle doit être la relation entre la hauteur d'un triangle équilatéral \(T_2\) et le diamètre de \(T_1\) pour qu'il soit possible de faire traverser \(T_2\) dans \(T_1\) ?
c) Quel est le côté du plus petit triangle équilatéral qu'il n'est pas possible de faire traverser dans \(T_1\) ?
- On considère un hexagone régulier \(H_1\) de côté 1 unité.
a) Quel est son diamètre ? Quelle est sa hauteur ?
b) Quel est le côté du plus petit hexagone régulier qu'il n'est pas possible de faire traverser dans \(H_1\) ?
Partie B — Traversée du cube
Dans cette partie on considère un cube ABCDEFGH de côté 1 unité. Les points I, J, K et L sont disposés comme sur la figure ci-dessous avec : \(AI=\dfrac{3}{4}\), \(AJ=\dfrac{3}{4}\), \(HK=\dfrac{1}{4}\) et \(FL=\dfrac{1}{4}\).
-
a) Calculer la longueur \(IJ\).
b) Calculer la longueur \(IL\) (on pourra travailler dans le triangle \(IFL\) rectangle en \(F\)).
c) Justifier que \(IJKL\) est un carré.
- En s'aidant de la question précédente, expliquer comment il est possible de faire traverser le cube ABCDEFGH par un cube de côté légèrement plus grand.
A.1.a) D'après le théorème de Pythagore, le diamètre \(d\) d'un carré de côté 1 unité vérifie la relation \(d^2=1^2+1^2\) et donc \(d=\sqrt{2}\).
b) En procédant comme sur la figure de l'énoncé, il est possible de faire traverser un carré de côté 1,4 unité dans un carré de côté 1 unité car \(1{,}4<\sqrt2\).
A.2.a) Le diamètre de \(T_1\) est 1. D'après le théorème de Pythagore, la hauteur \(h\) de \(T_1\) vérifie la relation \(h^2+\left(\dfrac12\right)^2=1^2\) et donc \(h=\dfrac{\sqrt3}{2}\).
b) Pour qu'il soit possible de faire traverser \(T_2\) dans \(T_1\), il faut que la hauteur de \(T_2\) soit strictement inférieure au diamètre de \(T_1\).
c) D'après le théorème de Pythagore, la hauteur \(h\) d'un triangle équilatéral \(T_2\) de côté \(a\) vérifie la relation \(a^2=h^2+\left(\dfrac{a}{2}\right)^2\) et donc \(h=\dfrac{a\sqrt3}{2}\). D'après les deux questions précédentes, on doit avoir \(\dfrac{a\sqrt3}{2}<1\), c'est-à-dire \(a<\dfrac{2}{\sqrt3}\). Le côté du plus petit triangle équilatéral qu'il n'est pas possible de faire traverser dans \(T_1\) est donc \(\dfrac{2}{\sqrt3}\).
A.3.a) Un hexagone régulier de côté 1 unité est constitué de six triangles équilatéraux de côté 1 unité, donc le diamètre de \(H_1\) est 2 et la hauteur de \(H_1\) est le double de la hauteur d'un triangle équilatéral de côté 1 unité, soit \(\sqrt3\).
b) La hauteur d'un hexagone régulier de côté \(a\) est le double de celle d'un triangle équilatéral de côté \(a\), soit \(a\sqrt3\). Pour qu'un hexagone régulier \(H_2\) de côté \(a\) puisse traverser \(H_1\), il faut \(a\sqrt3<2\), soit \(a<\dfrac{2}{\sqrt3}\). Le côté du plus petit hexagone régulier qu'il n'est pas possible de faire traverser \(H_1\) est donc \(\dfrac{2}{\sqrt3}\).
B.1.a) Le triangle \(AIJ\) est rectangle en \(A\), donc d'après le théorème de Pythagore : \(IJ^2=IA^2+AJ^2=\left(\dfrac34\right)^2+\left(\dfrac34\right)^2=\dfrac{9}{16}+\dfrac{9}{16}=\dfrac{9}{8}\), donc \(IJ=\dfrac{3\sqrt2}{4}\).
b) Le triangle \(IFB\) est rectangle en \(B\) : \(IF^2=IB^2+BF^2=\left(\dfrac14\right)^2+1^2=\dfrac{17}{16}\). Le triangle \(IFL\) est rectangle en \(F\) : \(IL^2=IF^2+FL^2=\dfrac{17}{16}+\left(\dfrac14\right)^2=\dfrac{18}{16}=\dfrac{9}{8}\), donc \(IL=\dfrac{3\sqrt2}{4}\).
c) Dans le repère orthonormé \((A\,;\,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE})\), on a \(I\left(\dfrac34,0,0\right)\), \(J\left(0,\dfrac34,0\right)\), \(K\left(\dfrac14,1,1\right)\) et \(L\left(1,\dfrac14,1\right)\). On calcule \(\overrightarrow{IJ}\left(-\dfrac34,\dfrac34,0\right)\) et \(\overrightarrow{LK}\left(-\dfrac34,\dfrac34,0\right)\), d'où \(\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{LK}\) : \(IJKL\) est un parallélogramme (donc \(I,J,K,L\) coplanaires). De même, \(JK=LI=\dfrac{3\sqrt2}{4}\) : les quatre côtés de \(IJKL\) sont égaux, c'est un losange. Ses diagonales \(IK\) et \(JL\) valent toutes deux \(\dfrac32\) (calcul direct dans le repère) : un losange dont les diagonales ont même longueur est un carré.
B.2. Si l'on évide le cube \(ABCDEFGH\) en creusant à l'intérieur un « tunnel » s'appuyant sur le carré \(IJKL\) et perpendiculaire à ce carré, la partie restante ne tient pas en un seul morceau. Pour éviter cela, on remplace \(IJKL\) par un carré \(I'J'K'L'\) de même centre, légèrement plus petit — par exemple de côté \(0{,}99\times\dfrac{3\sqrt2}{4}\approx1{,}05005\). En creusant ce tunnel légèrement plus étroit, le solide restant permet de faire traverser un cube de côté 1,05 unité, donc légèrement plus grand que le cube \(ABCDEFGH\) de côté 1.
Remarque historique : ce problème, posé par le Prince Rupert du Rhin (1619–1682), est connu sous le nom de « cube de Prince Rupert ». La valeur exacte du côté du plus grand tunnel carré qu'on peut percer dans un cube unité, \(\dfrac{3\sqrt2}{4}\), a été trouvée un siècle plus tard par le mathématicien néerlandais Pieter Nieuwland (1764–1794).