Exercice 1 — La magibox — Olympiades 2016 Aix-Marseille

Sujet

La magibox est une machine qui transforme deux nombres entiers naturels \(n\) et \(p\) à l'aide d'un procédé prédéterminé pour obtenir un troisième nombre.

Par exemple, si le procédé programmé consiste à multiplier, le transformé des nombres 5 et 9 sera 45. On notera : \(t(5\,;\,9)=45\).

On décide d'utiliser la magibox, mais on ne sait pas quel procédé est utilisé. Par test, on obtient \(t(12\,;\,13)=132\) mais \(t(13\,;\,12)=143\). Décrire un procédé permettant d'obtenir ces résultats grâce à la magibox.
On reprogramme la magibox. Par test, on obtient \(t(3\,;\,5)=81\). On sait que le procédé prédéterminé effectue l'opération \(a\times n+b\times p\) où \(a\) et \(b\) sont des entiers positifs dont on a oublié les valeurs.
a) Quelles sont toutes les valeurs possibles pour \(a\) et \(b\) ?

b) On sait, de plus, que \(t(52\,;\,35)=784\). Quelles sont les valeurs de \(a\) et \(b\) ?
On programme la magibox afin que \(t(n\,;\,p)=\sqrt{n^2+p^2}\). On dira qu'un couple \((n\,;\,p)\) est acceptable si le nombre \(t(n\,;\,p)\) est entier.
a) Le couple \((7\,;\,24)\) est-il acceptable ?

b) Déterminer deux entiers naturels distincts qui forment avec 8 un couple acceptable.

c) Montrer que s'il existe deux entiers naturels \(a\) et \(b\) tels que \(n=a^2-b^2\) et \(p=2ab\), alors le couple \((n\,;\,p)\) est acceptable.

d) (Série S seulement) Montrer que si un couple acceptable \((n\,;\,p)\) vérifie \(n=a^2-b^2\) et \(p=2ab\) avec \(b\) pair alors le produit \(n\times p\) est un multiple de 12.

1. Un procédé permettant d'obtenir ces résultats est de multiplier \(n\) par le plus petit des deux nombres \(n\) et \(p\), diminué de 1 : \(t(n\,;\,p) = n \times \left(\min(n,p)-1\right)\). Vérification : \(t(12\,;\,13)=12\times(12-1)=12\times11=132\) et \(t(13\,;\,12)=13\times(12-1)=13\times11=143\), ce qui correspond bien aux deux résultats donnés.

2.a) \(3a+5b=81 \Leftrightarrow 5b=81-3a\). D'une part \(5b\leqslant81 \Rightarrow b\leqslant16{,}2\) ; d'autre part \(5b=3(27-a)\) donc \(b\) est multiple de 3. On en déduit \(b\in\{0,3,6,9,12,15\}\), et \(a=\dfrac{81-5b}{3}\). Les solutions possibles sont :

\(a\)	27	22	17	12	7	2
\(b\)	0	3	6	9	12	15

b) On sait de plus que \(52a+35b=784\). On teste les valeurs précédentes : il vient \(a=7\) et \(b=12\).

3.a) \(\sqrt{7^2+24^2}=\sqrt{625}=25\). Le couple \((7\,;\,24)\) est acceptable.

b) \(\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10\) : le couple \((8\,;\,6)\) est acceptable. \(\sqrt{8^2+15^2}=\sqrt{289}=17\) : le couple \((8\,;\,15)\) est acceptable également.

c) Si \(n=a^2-b^2\) et \(p=2ab\), alors \(n^2+p^2=(a^2-b^2)^2+(2ab)^2=a^4-2a^2b^2+b^4+4a^2b^2=a^4+2a^2b^2+b^4=(a^2+b^2)^2\). Donc \(\sqrt{n^2+p^2}=a^2+b^2\), qui est entier : le couple \((n\,;\,p)\) est acceptable.

d) \(n\times p=(a^2-b^2)(2ab)=2ab(a-b)(a+b)\). Comme \(b\) est pair, il existe un entier \(k\) tel que \(b=2k\), donc \(n\times p\) est divisible par 4. Si \(a\) ou \(b\) est multiple de 3, \(n\times p\) l'est aussi, donc de 12. Sinon, en écrivant \(a=3k+1\) ou \(3k+2\) et \(b=3\ell+1\) ou \(3\ell+2\), on vérifie sur les 4 cas que \(a-b\) ou \(a+b\) est toujours multiple de 3 : \(n\times p\) est donc bien multiple de 12.