Généralités
Donner la valeur minimale du format d’un rectangle, en précisant pour quels rectangles elle est atteinte.
Le minimum \(F = 1\) est atteint lorsque \(b = a\), c’est-à-dire pour les carrés.
Premier découpage — au milieu de la longueur
On coupe \(R\) au milieu de sa longueur pour obtenir \(R'\) de dimensions \(a \times b/2\) (si \(b/2 \geq a\)) ou \(b/2 \times a\) (si \(b/2 < a\)).
Figure — Premier découpage au milieu de la longueur
a) Format de \(R\) et \(R'\) avec \(a=3\), \(b=8\). b) Montrer \(F'=3/2\) avec \(a=3\), \(b=4\). c) Formats avec \(a=\sqrt{2}\), \(b=2\).
b) \(a=3, b=4\) : \(b/2=2 < a=3\), donc \(R'\) a dims \(2 \times 3\), \(F' = 3/2\). ✓
c) \(a=\sqrt{2}, b=2\) : \(F = 2/\sqrt{2} = \sqrt{2}\).
\(b/2=1 < \sqrt{2}\), donc \(R'\) a dims \(1 \times \sqrt{2}\), \(F' = \sqrt{2}/1 = \sqrt{2}\).
\(F = F' = \sqrt{2} \approx 1{,}414\)
Si \(b > 2a\), est-il possible que \(R\) et \(R'\) aient le même format ?
Pour \(F' = F\) il faudrait \(F = F/2\), soit \(F = 0\) — impossible.
Non, c’est impossible.
On suppose \(b \leq 2a\). a) Si \(R\) et \(R'\) ont le même format, montrer \(F = \sqrt{2}\). b) La réciproque est-elle vraie ? c) \(a\) et \(b\) peuvent-ils être entiers ?
\(F' = F \Rightarrow F = 2/F \Rightarrow F^2 = 2 \Rightarrow F = \sqrt{2}\) (car \(F > 0\)). ✓
b) Oui, la réciproque est vraie : si \(F = \sqrt{2}\) alors \(F' = 2/F = 2/\sqrt{2} = \sqrt{2} = F\).
c) Si \(a\) et \(b\) entiers, alors \(F = b/a\) est rationnel. Or \(\sqrt{2}\) est irrationnel.
Non, \(a\) et \(b\) ne peuvent pas être tous deux entiers.
Feuilles A0 à A4 : donner les dimensions exactes. Vérifier la cohérence avec le format A4 réel.
| Format | Largeur (m) | Longueur (m) |
|---|---|---|
| A0 | \(2^{-1/4}\) | \(2^{1/4}\) |
| A1 | \(2^{-3/4}\) | \(2^{-1/4}\) |
| A2 | \(2^{-5/4}\) | \(2^{-3/4}\) |
| A3 | \(2^{-7/4}\) | \(2^{-5/4}\) |
| A4 | \(2^{-9/4}\) | \(2^{-7/4}\) |
Deuxième découpage — en rabattant la largeur sur la longueur
On rabat la largeur \(a\) sur la longueur \(b\) : on obtient \(\overline{R}\) de dimensions \(a \times (b-a)\) si \(b-a \geq a\), ou \((b-a) \times a\) si \(b-a < a\).
Figure — Deuxième découpage en rabattant la largeur sur la longueur
Exprimer \(\overline{F}\) en fonction de \(a\) et \(b\) en distinguant deux cas.
\(\overline{R}\) a dims \(a \times (b-a)\), donc \(\overline{F} = \dfrac{b-a}{a} = F - 1\).
Cas 2 : \(a < b < 2a\) (i.e. \(b-a < a\)) :
\(\overline{R}\) a dims \((b-a) \times a\), donc \(\overline{F} = \dfrac{a}{b-a} = \dfrac{1}{F-1}\).
Montrer que si \(\overline{R}\) et \(R\) ont le même format, alors \(F^2 - F - 1 = 0\).
Cas 2 : \(\overline{F} = \dfrac{1}{F-1} = F \Rightarrow F(F-1) = 1 \Rightarrow F^2 - F - 1 = 0\). ✓
a) Déduire tous les couples \((a;b)\) tels que \(\overline{R}\) et \(R\) aient le même format. b) Bonus : ce format s’appelle le nombre d’or.
Comme \(F > 1\), on garde \(F = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} = \varphi \approx 1{,}618\) (nombre d’or).
Les couples solutions sont \(\left(a ; \dfrac{(1+\sqrt{5})a}{2}\right)\) pour tout \(a > 0\).
Bonus : Le nombre d’or apparaît dans les proportions du Parthénon, dans la suite de Fibonacci, dans les spirales des coquillages (nautile), et dans les phyllotaxies végétales (disposition des graines de tournesol).
Troisième découpage — premier puis deuxième
On suppose \(b \neq 2a\). Déterminer tous les couples \((a;b)\) tels que \(\overline{R'}\) et \(R\) aient le même format.
On applique le 2e découpage à \(R'\) de format \(F' = 2/F\).
Si \(F' < 2\) (i.e. \(F > 1\), toujours vrai) : \(\overline{F'} = \dfrac{1}{F'-1} = \dfrac{1}{2/F-1} = \dfrac{F}{2-F}\).
\(\overline{F'} = F \Rightarrow \dfrac{F}{2-F} = F \Rightarrow 1 = 2-F \Rightarrow F = 1\).
Mais \(F = 1\) signifie \(a = b\) (carré), exclu car \(b > a\). Pas de solution dans ce cas.
Cas \(b > 2a\) : \(F' = F/2\) (question 3).
Si \(F' \geq 2\) (i.e. \(F \geq 4\)) : \(\overline{F'} = F'-1 = F/2-1\).
\(F/2-1 = F \Rightarrow -1 = F/2\). Impossible.
Si \(1 < F' < 2\) (i.e. \(2 < F < 4\)) : \(\overline{F'} = \dfrac{1}{F'-1} = \dfrac{1}{F/2-1} = \dfrac{2}{F-2}\).
\(\dfrac{2}{F-2} = F \Rightarrow F(F-2) = 2 \Rightarrow F^2 - 2F - 2 = 0\).
\(F = \dfrac{2+\sqrt{12}}{2} = 1+\sqrt{3} \approx 2{,}732\). (On vérifie \(2 < 1+\sqrt{3} < 4\) ✓)
\(b = (1+\sqrt{3})a\) pour tout \(a > 0\).