Math@mine / Maths Complémentaires / Ch. 10

Exercices — Géométrie repérée

Maths Complémentaires · Chapitre 10

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Coordonnées dans le plan, vecteurs, droites (équations cartésienne et réduite), produit scalaire, applications.
Exo 1Coordonnées et milieu

On donne \(A(2\,;\,-1)\) et \(B(6\,;\,3)\) dans un repère orthonormé.

  1. Calculer les coordonnées du milieu \(I\) de \([AB]\).
  2. Calculer la distance \(AB\).
  3. Donner les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\).
Voir la correction

1. \(I\!\left(\dfrac{2+6}{2}\,;\,\dfrac{-1+3}{2}\right) = I(4\,;\,1)\).

2. \(AB = \sqrt{(6-2)^2 + (3+1)^2} = \sqrt{16+16} = 4\sqrt 2\).

3. \(\overrightarrow{AB}(4\,;\,4)\).

Exo 2Équation de droite

Déterminer une équation cartésienne et l'équation réduite :

  1. de la droite \((d_1)\) passant par \(A(1\,;\,2)\) et \(B(3\,;\,-2)\).
  2. de la droite \((d_2)\) passant par \(C(0\,;\,1)\) et de vecteur directeur \(\vec{u}(2\,;\,3)\).
Voir la correction

1. \(\overrightarrow{AB}(2\,;\,-4)\), donc \(2(y-2) - (-4)(x-1) = 0\), soit \(4x + 2y - 8 = 0\), ou \(2x + y - 4 = 0\). Réduite : \(y = -2x + 4\).

2. Coefficient directeur \(m = 3/2\). Réduite : \(y = \dfrac{3}{2}x + 1\). Cartésienne : \(3x - 2y + 2 = 0\).

Exo 3Produit scalaire

On donne \(\vec{u}(3\,;\,-1)\) et \(\vec{v}(2\,;\,5)\).

  1. Calculer \(\vec{u}\cdot\vec{v}\).
  2. Calculer \(\|\vec{u}\|\) et \(\|\vec{v}\|\).
  3. En déduire l'angle \(\theta\) entre \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) à 0,1° près.
Voir la correction

1. \(\vec{u}\cdot\vec{v} = 3\times 2 + (-1)\times 5 = 6 - 5 = 1\).

2. \(\|\vec{u}\| = \sqrt{9+1} = \sqrt{10}\) ; \(\|\vec{v}\| = \sqrt{4+25} = \sqrt{29}\).

3. \(\cos\theta = \dfrac{1}{\sqrt{10}\sqrt{29}} = \dfrac{1}{\sqrt{290}} \approx 0{,}0587\). Donc \(\theta \approx 86{,}6°\).

Exo 4Cercle

Donner l'équation cartésienne du cercle :

  1. de centre \(\Omega(2\,;\,-3)\) et de rayon \(R = 5\).
  2. de diamètre \([AB]\) avec \(A(0\,;\,0)\) et \(B(4\,;\,2)\).
Voir la correction

1. \((x-2)^2 + (y+3)^2 = 25\).

2. Centre \(I(2\,;\,1)\) (milieu), rayon \(R = AB/2 = \sqrt{16+4}/2 = \sqrt 5\). Équation : \((x-2)^2 + (y-1)^2 = 5\).