Olympiades de Mathématiques

Concours Général · Olympiades Françaises · préparation, thèmes récurrents, ressources

Les concours d'olympiades ne suivent pas un « programme officiel » au sens strict. Ils évaluent des capacités — raisonner, chercher, prouver, modéliser — souvent mobilisées sur des sujets aux frontières du programme. Cette page liste les grands thèmes récurrents et les conseils pour s'y préparer.

Concours et format
A
Concours Général des Lycées — Mathématiques
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Format
  • Élèves de Terminale spé maths uniquement
  • Une épreuve écrite, 5 heures, en mars
  • Quatre problèmes indépendants, partiellement guidés
  • Pas de calculatrice
Thèmes fréquents
  • Arithmétique et combinatoire
  • Géométrie plane (euclidienne)
  • Analyse (suites, fonctions, intégration)
  • Algèbre (polynômes, équations)
B
Olympiades Françaises de Mathématiques (OFM/AnimMath)
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Format
  • Première et Terminale, filière sélective (test d'entrée, stages)
  • Préparation progressive aux olympiades internationales (OIM, EGMO)
  • Sujets style olympique : 3 problèmes en 4h30, notation sur 7 par problème
Thèmes
  • Algèbre : inégalités, polynômes
  • Théorie des nombres : congruences, équations diophantiennes
  • Géométrie : angles inscrits, puissance d'un point, transformations
  • Combinatoire : dénombrement, invariants, principe des tiroirs
C
Olympiades académiques de mathématiques
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Format
  • Ouvertes à toute la Première (toutes filières)
  • Épreuve de 4 heures, 4 exercices (2 nationaux, 2 académiques)
  • Courant mars, inscription par l'établissement
Thèmes
  • Problèmes de modélisation concrets
  • Recherches guidées (conjecture → preuve)
  • Géométrie et arithmétique élémentaires
Thèmes mathématiques récurrents
1
Arithmétique
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Notions
  • Division euclidienne, congruences modulo n
  • Nombres premiers, théorème fondamental
  • PGCD, lemme de Gauss, Bézout
  • Équations diophantiennes ax + by = c
  • Fonctions arithmétiques : φ, d, σ
Techniques
  • Descente infinie
  • Principe de Fermat
  • Formule de Legendre (valuation p-adique)
2
Combinatoire
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Notions
  • Dénombrement, coefficients binomiaux
  • Principe des tiroirs (pigeonhole)
  • Double comptage
  • Invariants, coloration, monovariants
  • Récurrences, bijections
Techniques
  • Identifier une quantité conservée (invariant)
  • Compter de deux façons (double comptage)
  • Raisonner par l'absurde, contradiction
3
Géométrie
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Notions
  • Angles inscrits, cocyclicité
  • Puissance d'un point, axe radical
  • Transformations : homothétie, rotation, inversion
  • Coordonnées barycentriques
  • Cercles d'Apollonius, droite d'Euler, cercle d'Euler
Techniques
  • Chercher des angles égaux (chasse aux angles)
  • Utiliser la puissance et les quadrilatères cycliques
  • Passer en analytique pour les cas difficiles
4
Algèbre et inégalités
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Notions
  • Polynômes : racines, division, relations de Viète
  • Inégalités : AM-GM, Cauchy-Schwarz, Jensen
  • Équations fonctionnelles
  • Suites récurrentes
Techniques
  • Substitution, factorisation, symétrisation
  • Normalisation (WLOG)
  • Étude de variations pour prouver une inégalité
Conseils et ressources
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Ouvrages de référence
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Initiation
  • Cours d'olympiades (Animath) — gratuit en ligne
  • Mathématiques olympiques, P. Bornsztein et al.
  • Problem-Solving Strategies, A. Engel
Approfondissement
  • Problems in Mathematical Analysis, Kaczor & Nowak
  • Problems and Theorems in Analysis, Polya & Szegö
  • Annales du Concours Général et des Olympiades académiques
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Conseils de préparation
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Méthode de travail
  • Chercher longtemps un problème avant de regarder la solution (minimum 30 min, idéalement plusieurs heures)
  • Rédiger proprement et complètement chaque solution trouvée
  • Classer les problèmes par thème et par technique
  • Refaire après quelques semaines les problèmes bloquants
Pendant l'épreuve
  • Lire tous les énoncés avant de commencer
  • Attaquer d'abord ce qui semble le plus accessible
  • Tester sur des petits cas (n = 1, 2, 3…) avant de généraliser
  • Rédiger soigneusement — les points partiels comptent
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Liens utiles
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