Nombres complexes
Contenus
- Ensemble ℂ des nombres complexes : partie réelle et imaginaire, opérations
- Conjugaison, propriétés algébriques
- Inverse d’un nombre complexe non nul
- Formule du binôme dans ℂ
Capacités attendues
- Effectuer des calculs algébriques avec des nombres complexes
- Résoudre une équation linéaire az = b
- Résoudre une équation faisant intervenir z et z̄
Démonstrations
- Conjugué d’un produit, d’un inverse, d’une puissance
- Formule du binôme
Contenus
- Image d’un complexe, affixe d’un point ou d’un vecteur
- Module : définition, |z|²=zz̄, module d’un produit
- Ensemble 𝕌 des complexes de module 1
- Arguments, forme trigonométrique
Capacités attendues
- Déterminer le module et les arguments d’un nombre complexe
- Représenter un complexe, déterminer l’affixe d’un point
Démonstrations
- |z|²=zz̄, module d’un produit et d’une puissance
Contenus
- Formules d’addition et de duplication
- Exponentielle imaginaire e^{iθ}, relation fonctionnelle
- Formules d’Euler : cos θ = ½(e^{iθ}+e^{-iθ})
- Formule de Moivre
Capacités attendues
- Passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique/exponentielle
- Utiliser les formules d’Euler et de Moivre pour transformer des expressions trigonométriques
Démonstrations
Contenus
- Solutions complexes d’une équation du second degré à coefficients réels
- Factorisation de zⁿ−aⁿ par z−a
- Si P(a)=0, factorisation de P par z−a
- Un polynôme de degré n admet au plus n racines
Capacités attendues
- Résoudre une équation polynomiale de degré 2 à coefficients réels
- Résoudre un équation de degré 3 dont une racine est connue
- Factoriser un polynôme dont une racine est connue
Démonstrations
- Factorisation de zⁿ−aⁿ
- Majoration du nombre de racines par le degré
Contenus
- Interprétation géométrique du module et argument de (c−a)/(b−a)
- Racines n-ièmes de l’unité, ensemble 𝕌ₙ, représentation géométrique
Capacités attendues
- Utiliser les complexes pour étudier configurations du plan : alignement, orthogonalité, longueurs, angles
- Utiliser les racines de l’unité pour les polygones réguliers
Démonstrations
- Détermination de l’ensemble 𝕌ₙ
Arithmétique
Contenus
- Divisibilité dans ℤ
- Division euclidienne
- Congruences dans ℤ, compatibilité avec les opérations
Capacités attendues
- Déterminer les diviseurs d’un entier
- Résoudre une congruence ax ≡ b [n]
- Établir et utiliser des tests de divisibilité
Contenus
- PGCD, algorithme d’Euclide
- Couples d’entiers premiers entre eux
- Théorème de Bézout
- Théorème de Gauss
- Nombres premiers, décomposition unique
- Petit théorème de Fermat
Capacités attendues
- Calculer le PGCD, trouver un couple de Bézout
- Déterminer un inverse de a modulo n (si pgcd(a,n)=1)
- Résoudre des équations diophantiennes simples
- Étudier la primalité, appliquer le petit théorème de Fermat
Démonstrations
- Écriture du PGCD sous forme ax+by
- Théorème de Gauss
- Infinité des nombres premiers
Graphes et matrices
Contenus
- Matrice (tableau de réels), matrice carrée, colonne, ligne
- Opérations : addition, multiplication scalaire, produit
- Matrice inverse, puissances
- Représentations matricielles : systèmes linéaires, transformations géométriques, suites récurrentes
Capacités attendues
- Calculer l’inverse et les puissances d’une matrice carrée
- Résoudre un système linéaire par calcul matriciel
- Modéliser et étudier une suite récurrente linéaire
Contenus
- Graphe : sommets, arêtes, degré, connexité
- Matrice d’adjacence
- Chaîne de Markov à 2 ou 3 états : matrice de transition
- Distribution après n transitions : π₀Pⁿ
- Distributions invariantes
Capacités attendues
- Modéliser une situation par un graphe ou une matrice
- Associer un graphe orienté pondéré à une chaîne de Markov
- Calculer des probabilités et déterminer une distribution invariante
Démonstrations
- Nombre de chemins de longueur n via Aⁿ
- Expression de la distribution après n transitions