Exercices — Limites de fonctions

Exo 1 Exercice Exercice 1

Exercice — Limites en l'infini

Déterminer les limites suivantes.

\(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{3x^2 - x + 1}{2x^2 + 5}\)
\(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^3 + 2x}{x^2 - 1}\)
\(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \dfrac{4x+3}{2x^2-1}\)
\(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^2+x} - x\right)\)
\(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x\left(\sqrt{1+\dfrac{1}{x}} - 1\right)\)

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Correction

On factorise par le terme de plus haut degré : \(\dfrac{3x^2-x+1}{2x^2+5} = \dfrac{x^2(3-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2})}{x^2(2+\frac{5}{x^2})} \to \dfrac{3}{2}\).
\(\dfrac{x^3+2x}{x^2-1} = \dfrac{x(x^2+2)}{x^2-1} \sim \dfrac{x^3}{x^2} = x \to +\infty\).
\(\dfrac{4x+3}{2x^2-1} = \dfrac{x(4+\frac{3}{x})}{x^2(2-\frac{1}{x^2})} = \dfrac{4+\frac{3}{x}}{x(2-\frac{1}{x^2})} \to 0\).
On multiplie par l'expression conjuguée : \(\sqrt{x^2+x}-x = \dfrac{(x^2+x)-x^2}{\sqrt{x^2+x}+x} = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+x}+x} = \dfrac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1} \to \dfrac{1}{2}\).
On pose \(h = \dfrac{1}{x}\) avec \(h \to 0^+\) : \(x(\sqrt{1+\frac{1}{x}}-1) = \dfrac{\sqrt{1+h}-1}{h} = \dfrac{h}{h(\sqrt{1+h}+1)} = \dfrac{1}{\sqrt{1+h}+1} \to \dfrac{1}{2}\).

Exo 2 Exercice Exercice 2

Exercice — Asymptotes et limites en un point

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\setminus\{2\}\) par : \[f(x) = \dfrac{x^2 - 3x + 4}{x - 2}\]

Déterminer \(\displaystyle\lim_{x \to 2^+} f(x)\) et \(\displaystyle\lim_{x \to 2^-} f(x)\). Interpréter graphiquement.
Déterminer \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)\) et \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x)\).
Effectuer la division euclidienne de \(x^2-3x+4\) par \(x-2\). En déduire qu'il existe une asymptote oblique.
Déterminer la position relative de la courbe et de l'asymptote oblique.

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Correction

Pour \(x \to 2\) : \(x^2 - 3x + 4 \to 4 - 6 + 4 = 2 > 0\) et \(x - 2 \to 0\).
\(\displaystyle\lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty\) \quad et \quad \(\displaystyle\lim_{x \to 2^-} f(x) = -\infty\).

La droite \(x=2\) est asymptote verticale.
\(f(x) = \dfrac{x^2-3x+4}{x-2} \sim \dfrac{x^2}{x} = x \to \pm\infty\).
\(x^2 - 3x + 4 = (x-2)(x-1) + 2\), donc \(f(x) = x - 1 + \dfrac{2}{x-2}\).
Comme \(\dfrac{2}{x-2} \to 0\) quand \(x \to \pm\infty\), la droite \(y = x-1\) est asymptote oblique.
\(f(x) - (x-1) = \dfrac{2}{x-2}\).
Si \(x > 2\) : \(\dfrac{2}{x-2} > 0\), la courbe est au-dessus de l'asymptote.

Si \(x < 2\) : \(\dfrac{2}{x-2} < 0\), la courbe est en dessous de l'asymptote.

Exo 3 Exercice Exercice 3

Exercice — Théorème des valeurs intermédiaires

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = x^3 + 2x - 5\).

Étudier les variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
Montrer que \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\).
Calculer \(f(1)\) et \(f(2)\).
En appliquant le théorème des valeurs intermédiaires, montrer que l'équation \(f(x) = 0\) admet une unique solution \(\alpha\) dans l'intervalle \([1\,;2]\).
À l'aide de la méthode de dichotomie, donner un encadrement de \(\alpha\) à \(0{,}25\) près.

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Correction

\(f'(x) = 3x^2 + 2 > 0\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\).
La fonction \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
\(f\) est une fonction polynomiale, donc continue sur \(\mathbb{R}\).
\(f(1) = 1 + 2 - 5 = -2 < 0\) \quad et \quad \(f(2) = 8 + 4 - 5 = 7 > 0\).
\(f\) est continue et strictement croissante sur \([1\,;2]\). On a \(f(1) < 0 < f(2)\). D'après le théorème des valeurs intermédiaires (corollaire pour les fonctions strictement monotones), l'équation \(f(x) = 0\) admet une unique solution \(\alpha \in [1\,;2]\).
\(f(1{,}5) = 3{,}375 + 3 - 5 = 1{,}375 > 0\), donc \(\alpha \in [1\,;1{,}5]\).
\(f(1{,}25) = 1{,}953125 + 2{,}5 - 5 = -0{,}546875 < 0\), donc \(\alpha \in [1{,}25\,;1{,}5]\).

Ainsi \(1{,}25 \leqslant \alpha \leqslant 1{,}5\), soit un encadrement à \(0{,}25\) près.

Exo 4 Exercice Exercice 4

Exercice — Croissances comparées et limites

Déterminer les limites suivantes en justifiant.

\(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\mathrm{e}^x}{x^2}\)
\(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x^2\,\mathrm{e}^{-x}\)
\(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} x\,\mathrm{e}^{x}\)
\(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(\mathrm{e}^x - x^3\right)\)
\(\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\mathrm{e}^x - 1}{x}\)
\(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\mathrm{e}^{2x}}{x+1}\)

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Correction

Par croissance comparée, \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\mathrm{e}^x}{x^2} = +\infty\).
\(x^2\,\mathrm{e}^{-x} = \dfrac{x^2}{\mathrm{e}^x} \to 0\) par croissance comparée.
On pose \(X = -x\) avec \(X \to +\infty\) : \(x\,\mathrm{e}^x = -X\,\mathrm{e}^{-X} = -\dfrac{X}{\mathrm{e}^X} \to 0\).
\(\mathrm{e}^x - x^3 = \mathrm{e}^x\left(1-\dfrac{x^3}{\mathrm{e}^x}\right)\). Or \(\dfrac{x^3}{\mathrm{e}^x} \to 0\), donc \(1-\dfrac{x^3}{\mathrm{e}^x} \to 1\) et le produit tend vers \(+\infty\).
C'est le nombre dérivé de \(x \mapsto \mathrm{e}^x\) en \(0\) : \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\mathrm{e}^x - 1}{x} = \mathrm{e}^0 = 1\).
On pose \(X = 2x\) : \(\dfrac{\mathrm{e}^{2x}}{x+1} = \dfrac{\mathrm{e}^X}{\frac{X}{2}+1} \to +\infty\) par croissance comparée.

Exo 5 ~\hfill Sesamath Terminale -- Limites de suites

Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[f(x)= x^2\left(1 - \dfrac{x^2}{9}\right).\]

Conjecturer les limites de \(f\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\) à partir de la représentation graphique ci-dessous obtenue à l'aide d'un logiciel.

[figure du manuel — non restituée dans cette version HTML]
Étudier les limites de \(f\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\).
Expliquer pourquoi la conjecture était erronée.

Voir la correction

Il semblerait que \(\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=+\infty\).
\(\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}x^2=+\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\left(1-\dfrac{x^2}{9}\right)=-\infty\). Donc, par produit, \(\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=-\infty\).
La fenêtre graphique était mal dimensionnée. En faisant un zoom arrière, on aurait pu conjecturer correctement comme le montre le graphique suivant.\\
[figure du manuel — non restituée dans cette version HTML]

Exo 6 Exercice 83 Sesamath Terminale -- Limites de suites

Étudier la limite de \(f\) en 1 à gauche et à droite.

\(f(x) = \dfrac{1}{(x - 1)^2}\)
\(f(x) = \dfrac{1 -x}{x}\)
\(f(x) = \dfrac{\sqrt{x^2-1}}{x^2+6x-7}\)
\(f(x) = \dfrac{1}{\lfloor x \rfloor}\)

Voir la correction

\(\displaystyle\lim_{\substack{x\to 1\\ x<1}}f(x)=\lim_{\substack{x\to 1\\ x>1}}f(x)=+\infty\)
\(\displaystyle\lim_{\substack{x\to 1\\ x<1}}f(x)=\lim_{\substack{x\to 1\\ x>1}}f(x)=1\)
\(\displaystyle\lim_{\substack{x\to 1\\ x<1}}f(x)=-\infty\) et \(\displaystyle\lim_{\substack{x\to 1\\ x>1}}f(x)=+\infty\)
\(\displaystyle\lim_{\substack{x\to 1\\ x<1}}\lfloor x\rfloor=0>0\) donc \(\displaystyle\lim_{\substack{x\to 1\\ x<1}}\dfrac{1}{\lfloor x\rfloor}=+\infty\) et \(\displaystyle\lim_{\substack{x\to 1\\ x<1}}\lfloor x\rfloor=1\) donc \(\displaystyle\lim_{\substack{x\to 1\\ x<1}}\dfrac{1}{\lfloor x\rfloor}=1\).

Exo 7 Exercice 88 Sesamath Terminale -- Limites de suites

Soit \(f:x\mapsto x^3\) la fonction cube.

Déterminer les limites de \(f\) en \(\pm\infty\).
Dresser le tableau de variation de \(f\).
Justifier l'unique solution des équations suivantes :
1. \(f(x)=4\) sur \([1,5~;~1,6]\)
2. \(f(x)=-3\) sur \(\mathbb{R}\)

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\(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x^3=-\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x^3=+\infty\).
[figure du manuel — non restituée dans cette version HTML]
1. \(f\) est continue et strictement croissante sur \([1,5~;~1,6]\). De plus, \(f(1,5)=1,5^3=3,375<4\) et \(f(1,6)=1,6^3=4,096>4\). Donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique réel dans \([1,5~;~1,6]\) tel que \(f(x)=4\).
2. \(f\) est continue et strictement croissante sur \(\mathbb{R}\). De plus, \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x^3=-\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x^3=+\infty\). Donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique réel tel que \(f(x)=-3\).