Exercices — Combinatoire et dénombrement

Exo 1 Exercice Exercice 1

Exercice — Factorielles et arrangements

Calculer \(5!\), \(7!\) et \(\dfrac{10!}{8!}\).
Combien de mots de 3 lettres distinctes peut-on former avec les lettres A, B, C, D, E ?
Un code d'accès est formé de 4 chiffres distincts parmi \(\{0,1,\ldots,9\}\). Combien de codes différents peut-on former ?
De combien de façons peut-on ranger 6 livres différents sur une étagère ?

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\(5! = 120\), \quad \(7! = 5040\), \quad \(\dfrac{10!}{8!} = 10 \times 9 = 90\).
Il s'agit d'arrangements de 3 lettres parmi 5 : \(A_5^3 = \dfrac{5!}{(5-3)!} = \dfrac{5!}{2!} = 60\).
Arrangements de 4 chiffres parmi 10 : \(A_{10}^4 = \dfrac{10!}{6!} = 10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5040\).
Il s'agit de permutations de 6 éléments : \(6! = 720\).

Exo 2 Exercice Exercice 2

Exercice — Coefficients binomiaux

Calculer \(\displaystyle\binom{7}{3}\), \(\displaystyle\binom{10}{2}\) et \(\displaystyle\binom{8}{5}\).
Montrer que \(\displaystyle\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\) pour tout \(0 \leqslant k \leqslant n\).
Un comité de 4 personnes doit être formé parmi 12 candidats. Combien de comités différents peut-on former ?
Dans une classe de 35 élèves, on choisit une délégation de 3 élèves. Combien de délégations différentes sont possibles ?

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\(\displaystyle\binom{7}{3} = \dfrac{7!}{3!\,4!} = \dfrac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35\).
\(\displaystyle\binom{10}{2} = \dfrac{10!}{2!\,8!} = \dfrac{10 \times 9}{2} = 45\).

\(\displaystyle\binom{8}{5} = \binom{8}{3} = \dfrac{8 \times 7 \times 6}{6} = 56\).
\(\displaystyle\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}\) et \(\displaystyle\binom{n}{n-k} = \dfrac{n!}{(n-k)!\,k!}\). Les deux expressions sont identiques.
\(\displaystyle\binom{12}{4} = \dfrac{12!}{4!\,8!} = \dfrac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{24} = 495\).
\(\displaystyle\binom{35}{3} = \dfrac{35 \times 34 \times 33}{6} = 6545\).

Exo 3 Exercice Exercice 3

Exercice — Triangle de Pascal et formule du binôme

Écrire les lignes 0 à 5 du triangle de Pascal.
Vérifier que \(\displaystyle\binom{5}{2} + \binom{5}{3} = \binom{6}{3}\).
Développer \((1+x)^4\) à l'aide de la formule du binôme de Newton.
En déduire la valeur de \(\displaystyle\sum_{k=0}^{4}\binom{4}{k}\).
Développer \((2x-1)^3\).

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\(n=0\) : 1
\(n=1\) : 1 1
\(n=2\) : 1 2 1
\(n=3\) : 1 3 3 1
\(n=4\) : 1 4 6 4 1
\(n=5\) : 1 5 10 10 5 1
\(\displaystyle\binom{5}{2} + \binom{5}{3} = 10 + 10 = 20 = \binom{6}{3}\). C'est la relation de Pascal : \(\binom{n+1}{k} = \binom{n}{k-1} + \binom{n}{k}\) (ici avec \(n=5\) et \(k=3\)).
\((1+x)^4 = \displaystyle\sum_{k=0}^{4}\binom{4}{k}x^k = 1 + 4x + 6x^2 + 4x^3 + x^4\).
En posant \(x=1\) : \((1+1)^4 = 2^4 = 16\), donc \(\displaystyle\sum_{k=0}^{4}\binom{4}{k} = 16\).
\((2x-1)^3 = \displaystyle\sum_{k=0}^{3}\binom{3}{k}(2x)^{3-k}(-1)^k = 8x^3 - 12x^2 + 6x - 1\).

Exo 4 Exercice Exercice 4

Exercice — Problèmes de dénombrement

Au loto, on tire 5 numéros parmi 49. Combien y a-t-il de grilles possibles ?
Une urne contient 6 boules rouges et 4 boules vertes. On tire simultanément 3 boules. Combien de tirages contiennent exactement 2 boules rouges ?
Un mot de passe est formé de 8 caractères : les 3 premiers sont des lettres majuscules (parmi 26) et les 5 suivants sont des chiffres (parmi 10). Combien de mots de passe différents peut-on créer ?
Combien y a-t-il d'anagrammes du mot MATHS ?

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Correction

\(\displaystyle\binom{49}{5} = \dfrac{49!}{5!\,44!} = \dfrac{49 \times 48 \times 47 \times 46 \times 45}{120} = 1\,906\,884\).
On choisit 2 rouges parmi 6 et 1 verte parmi 4 : \(\displaystyle\binom{6}{2}\times\binom{4}{1} = 15 \times 4 = 60\).
Les lettres sont choisies avec répétition : \(26^3\) possibilités. Les chiffres également : \(10^5\) possibilités. Au total : \(26^3 \times 10^5 = 17\,576 \times 100\,000 = 1\,757\,600\,000\).
Le mot MATHS comporte 5 lettres toutes distinctes. Le nombre d'anagrammes est \(5! = 120\).