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Exercices — Lois de probabilité

Terminale Spécialité · Chapitre 11

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Exo 1 Exercice Exercice 1
Exercice — Loi binomiale

Un archer atteint la cible avec une probabilité de \(0{,}7\) à chaque tir. Il effectue 10 tirs indépendants. On note \(X\) le nombre de tirs réussis.

  1. Justifier que \(X\) suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres.
  2. Calculer \(P(X = 7)\). Arrondir à \(10^{-3}\).
  3. Calculer l'espérance et l'écart type de \(X\). Interpréter l'espérance.
  4. Calculer la probabilité que l'archer réussisse au moins 8 tirs.
  5. Déterminer le plus petit entier \(k\) tel que \(P(X \leqslant k) > 0{,}95\).
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Correction
  1. Les 10 tirs sont des épreuves de Bernoulli indépendantes de paramètre \(p = 0{,}7\). Donc \(X \sim \mathcal{B}(10\,;\,0{,}7)\).
  2. \(P(X = 7) = \binom{10}{7}(0{,}7)^7(0{,}3)^3 = 120 \times 0{,}0823543 \times 0{,}027 \approx 0{,}267\).
  3. \(E(X) = np = 10 \times 0{,}7 = 7\). En moyenne, l'archer réussit 7 tirs sur 10.

    \(V(X) = np(1-p) = 10 \times 0{,}7 \times 0{,}3 = 2{,}1\). \(\sigma(X) = \sqrt{2{,}1} \approx 1{,}45\).

  4. \(P(X \geqslant 8) = P(X=8) + P(X=9) + P(X=10)\).

    \(P(X=8) = \binom{10}{8}(0{,}7)^8(0{,}3)^2 = 45 \times 0{,}05764801 \times 0{,}09 \approx 0{,}233\).

    \(P(X=9) = \binom{10}{9}(0{,}7)^9(0{,}3)^1 = 10 \times 0{,}040353607 \times 0{,}3 \approx 0{,}121\).

    \(P(X=10) = (0{,}7)^{10} \approx 0{,}028\).

    \(P(X \geqslant 8) \approx 0{,}233 + 0{,}121 + 0{,}028 = 0{,}382\).

  5. Par calculs cumulés, \(P(X \leqslant 8) \approx 0{,}851\) et \(P(X \leqslant 9) \approx 0{,}972\). Donc \(k = 9\).
Exo 2 Exercice Exercice 2
Exercice — Binomiale et taille d'échantillon

Un médicament a une probabilité \(p = 0{,}8\) de guérir un patient. On teste ce médicament sur \(n\) patients indépendamment.

On note \(X\) le nombre de patients guéris.

  1. Quelle loi suit \(X\) ? Préciser ses paramètres.
  2. Pour \(n = 20\), calculer la probabilité que tous les patients soient guéris.
  3. Pour \(n = 20\), calculer la probabilité qu'au moins 15 patients soient guéris.
  4. Déterminer la valeur minimale de \(n\) pour que la probabilité qu'au moins un patient soit guéri dépasse \(0{,}999\).
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Correction
  1. \(X \sim \mathcal{B}(n\,;\,0{,}8)\).
  2. \(P(X = 20) = (0{,}8)^{20} \approx 0{,}0115\).
  3. \(P(X \geqslant 15) = \displaystyle\sum_{k=15}^{20} \binom{20}{k}(0{,}8)^k(0{,}2)^{20-k} \approx 0{,}804\).
  4. \(P(X \geqslant 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - (0{,}2)^n \geqslant 0{,}999\).

    \((0{,}2)^n \leqslant 0{,}001\), soit \(n\ln(0{,}2) \leqslant \ln(0{,}001)\).

    \(n \geqslant \dfrac{\ln(0{,}001)}{\ln(0{,}2)} = \dfrac{-6{,}908}{-1{,}609} \approx 4{,}29\).

    Donc \(n \geqslant 5\).

Exo 3 Exercice Exercice 3
Exercice — Estimation et intervalle de fluctuation

On suppose qu'un candidat à une élection recueille 52\,% des intentions de vote. On interroge un échantillon de \(n\) personnes. On note \(F_n\) la fréquence observée de personnes favorables dans l'échantillon.

  1. Pour \(n = 100\), donner l'espérance et la variance de \(F_{100}\).
  2. En utilisant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que \(P\left(|F_{100} - 0{,}52| \geqslant 0{,}1\right) \leqslant 0{,}2496\).
  3. Déterminer la valeur minimale de \(n\) pour que \(P\left(|F_n - 0{,}52| \geqslant 0{,}05\right) \leqslant 0{,}05\).
  4. Que signifie concrètement ce résultat pour un sondeur ?
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Correction
  1. \(E(F_{100}) = p = 0{,}52\) et \(V(F_{100}) = \dfrac{p(1-p)}{n} = \dfrac{0{,}52 \times 0{,}48}{100} = 0{,}002496\).
  2. Par l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, \(P(|F_n - p| \geqslant \alpha) \leqslant \dfrac{V(F_n)}{\alpha^2}\).

    \(P(|F_{100} - 0{,}52| \geqslant 0{,}1) \leqslant \dfrac{0{,}002496}{0{,}01} = 0{,}2496\).

  3. On veut \(\dfrac{p(1-p)}{n\alpha^2} \leqslant 0{,}05\) avec \(\alpha = 0{,}05\).

    \(\dfrac{0{,}2496}{n \times 0{,}0025} \leqslant 0{,}05\), soit \(n \geqslant \dfrac{0{,}2496}{0{,}0025 \times 0{,}05} = \dfrac{0{,}2496}{0{,}000125} = 1996{,}8\).

    Donc \(n \geqslant 1997\).

  4. Il faut interroger au moins 1997 personnes pour que, avec une probabilité d'au moins 95\,%, la fréquence observée soit à moins de 5 points de la proportion réelle.
Exo 4 Exercice 30 Sesamath Terminale -- Lois à densité

On modélise le choix d'un nombre réel dans l'intervalle \(\left[0\ ;\ 7\right]\) par une variable aléatoire \(X\) suivant une loi \linebreak uniforme.

  1. Calculer les probabilités :
      {2}
    1. \(P(X\in \left[1\ ;\ 5,5\right])\) ;
    2. \(P(2,7\leqslant X < 6)\).
  2. Que vaut l'espérance de \(X\) ?

Voir la correction
    1. \(\dfrac{5,5-1}{7-0}=\dfrac{4,5}{7}=\dfrac{9}{14}\)
    2. \(\dfrac{6-2,7}{7-0}=\dfrac{3,3}{7}=\dfrac{33}{70}\)
    \setcounter{enumi}{1}
  2. \(E(X)=\dfrac{0+7}{2}=3,5\)
Exo 5 Exercice 77 Sesamath Terminale -- Lois à densité

Une variable aléatoire \(X\) suit la loi uniforme sur \(\left[0\ ;\ 100\right]\).

  1. Que vaut \(P(X<20)\) ?
  2. Calculer \(E(X)\).

Voir la correction
  1. \(\dfrac{20-0}{100-0}=0,2\)
  2. \(\dfrac{0+100}{2}=50\)
Exo 6 Exercice 83 Sesamath Terminale -- Lois à densité

On a mené une étude statistique dans un lycée qui permet de dire que, si un élève arrive en retard, son \linebreak retard peut être modélisé par une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre \(\lambda\). Pour les \linebreak retardataires, le temps moyen de retard est 3 minutes.

  1. Déterminer \(\lambda\).
  2. Déterminer la probabilité que le retard soit de moins de 3 minutes.

Voir la correction
  1. \(E(X)=\dfrac{1}{\lambda}=3\) donc \(\lambda=\dfrac{1}{3}\)
  2. \(P(X<3)=1-\textrm{e}^{-\frac{1}{3}\times 3}=1-\textrm{e}^{-1}\)
Exo 7 Exercice 89 Sesamath Terminale -- Lois à densité

On considère une variable aléatoire \(X\) suivant une loi normale de paramètres \(\mu\) inconnu et \(\sigma=2\) telle que \(P(X\geqslant 11)\approx 0,0015\).

  1. Déterminer \(\mu\).
  2. En déduire \(P(X<5)\) sans calculatrice.

Voir la correction
  1. Comme \(P(\mu-3\sigma\leqslant X<\mu+3\sigma)\approx0,997\), on déduit \(P(X>\mu+3\sigma)=\dfrac{1-0,997}{2}\approx0,0015\) donc \(11\approx\mu+3\times 2\) c'est-à-dire \(\mu\approx 5\).
  2. \(0,5\)
Exo 8 Exercice 23 Sesamath Terminale -- Intervalles de fluctuation / estimation

Un producteur de jus de pomme a constaté que \(4~%\) de sa production n'avait pas pu être commercialisée l'an dernier à cause d'une teneur en sucre trop élevée.

Il décide de tester un échantillon de sa nouvelle production pour savoir si la proportion de bouteilles non commercialisables est différente de celle de l'année\linebreak dernière.

Il choisit au hasard dans sa production \(598\) bouteilles, et compte le nombre \(X\) de bouteilles non commercialisables (on suppose que le volume de sa production est tel que l'on peut assimiler le choix de cet échantillon à un tirage au sort avec remise).

  1. Quelle loi suit \(X\) sous l'hypothèse où la proportion de bouteilles non commercialisables n'aurait pas évolué d'une année sur l'autre ?
  2. Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique de la fréquence de bouteilles non commercialisables au seuil de \(95~%\) dans cet échantillon.
  3. Le producteur trouve finalement \(19\) bouteilles non commercialisables.

    Peut-il affirmer qu'il a fait mieux que l'an dernier ?

Voir la correction
  1. \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n=598\) et \(p=0,04\).
  2. Les conditions d'utilisation sont réunies :

    \(\left[0,04-1,96\dfrac{\sqrt{0,04\times0,96}}{\sqrt{598}}\ ;\ 0,04+1,96\dfrac{\sqrt{0,04\times0,96}}{\sqrt{598}}\right]\) soit \([0,024\ ;\ 0,056]\) à \(10^{-3}\) près.

  3. \(f=\dfrac{19}{598}\approx 0,032\) donc \(f\) est dans l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95~%. Le producteur n'a pas fait mieux que l'an dernier.