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Exercices — Probabilités conditionnelles et indépendance

Terminale Spécialité · Chapitre 10

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Exo 1 Exercice Exercice 1
Exercice — Probabilités conditionnelles et arbre pondéré

Une usine fabrique des pièces. On sait que 5\,% des pièces sont défectueuses. Un contrôle qualité est effectué :

  • si la pièce est défectueuse, le contrôle la détecte avec une probabilité de \(0{,}98\) ;
  • si la pièce est conforme, le contrôle la déclare conforme avec une probabilité de \(0{,}95\).

On note \(D\) l'événement « la pièce est défectueuse » et \(T\) l'événement « le contrôle déclare la pièce défectueuse ».

  1. Construire un arbre pondéré modélisant la situation.
  2. Calculer la probabilité qu'une pièce soit défectueuse et détectée comme telle.
  3. Calculer \(P(T)\) la probabilité qu'une pièce soit déclarée défectueuse par le contrôle.
  4. Calculer la probabilité qu'une pièce soit réellement défectueuse sachant que le contrôle l'a déclarée défectueuse. Commenter.
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Correction
  1. On a \(P(D) = 0{,}05\), \(P(\overline{D}) = 0{,}95\), \(P_D(T) = 0{,}98\), \(P_D(\overline{T}) = 0{,}02\), \(P_{\overline{D}}(T) = 0{,}05\), \(P_{\overline{D}}(\overline{T}) = 0{,}95\).
  2. \(P(D \cap T) = P(D) \times P_D(T) = 0{,}05 \times 0{,}98 = 0{,}049\).
  3. Par la formule des probabilités totales : \(P(T) = P(D \cap T) + P(\overline{D} \cap T) = 0{,}049 + 0{,}95 \times 0{,}05 = 0{,}049 + 0{,}0475 = 0{,}0965\).
  4. \(P_T(D) = \dfrac{P(D \cap T)}{P(T)} = \dfrac{0{,}049}{0{,}0965} \approx 0{,}508\).

    Environ 50{,}8\,% des pièces déclarées défectueuses le sont réellement. Près de la moitié des alertes sont de faux positifs, car la proportion de pièces défectueuses est faible.

Exo 2 Exercice Exercice 2
Exercice — Indépendance d'événements

On lance deux dés équilibrés à six faces. On note \(A\) l'événement « le premier dé donne un résultat pair » et \(B\) l'événement « la somme des deux dés est supérieure ou égale à 8 ».

  1. Calculer \(P(A)\).
  2. Calculer \(P(B)\).
  3. Calculer \(P(A \cap B)\).
  4. Les événements \(A\) et \(B\) sont-ils indépendants ? Justifier.
  5. On note \(C\) l'événement « le premier dé donne 6 ». Les événements \(B\) et \(C\) sont-ils indépendants ?
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Correction
  1. \(P(A) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}\).
  2. Les couples \((i,j)\) avec \(i + j \geqslant 8\) : on dénombre \((2,6)\), \((3,5)\), \((3,6)\), \((4,4)\), \((4,5)\), \((4,6)\), \((5,3)\), \((5,4)\), \((5,5)\), \((5,6)\), \((6,2)\), \((6,3)\), \((6,4)\), \((6,5)\), \((6,6)\), soit 15 couples.

    \(P(B) = \dfrac{15}{36} = \dfrac{5}{12}\).

  3. \(A \cap B\) : premier dé pair (\(2, 4, 6\)) et somme \(\geqslant 8\). On dénombre : \((2,6)\), \((4,4)\), \((4,5)\), \((4,6)\), \((6,2)\), \((6,3)\), \((6,4)\), \((6,5)\), \((6,6)\), soit 9 couples.

    \(P(A \cap B) = \dfrac{9}{36} = \dfrac{1}{4}\).

  4. \(P(A) \times P(B) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{5}{12} = \dfrac{5}{24} \approx 0{,}208\).

    \(P(A \cap B) = \dfrac{1}{4} = \dfrac{6}{24} \neq \dfrac{5}{24}\).

    Donc \(A\) et \(B\) ne sont pas indépendants.

  5. \(P(C) = \dfrac{1}{6}\). \(B \cap C\) : premier dé 6 et somme \(\geqslant 8\), donc second dé \(\geqslant 2\) : 5 cas.

    \(P(B \cap C) = \dfrac{5}{36}\). \(P(B) \times P(C) = \dfrac{5}{12} \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{72} \neq \dfrac{5}{36}\).

    \(B\) et \(C\) ne sont pas indépendants.

Exo 3 Exercice Exercice 3
Exercice — Succession d'épreuves indépendantes

Un joueur lance un dé équilibré à six faces. S'il obtient 6, il gagne ; sinon, il perd.

  1. Quelle est la probabilité de gagner en un lancer ?
  2. Le joueur effectue 4 lancers indépendants. Quelle est la probabilité qu'il gagne au moins une fois ?
  3. Déterminer le nombre minimum de lancers pour que la probabilité de gagner au moins une fois soit supérieure ou égale à \(0{,}99\).
  4. On note \(F_n\) la fréquence de victoires sur \(n\) lancers. D'après la loi des grands nombres, vers quelle valeur \(F_n\) converge-t-elle en probabilité quand \(n \to +\infty\) ?
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Correction
  1. \(p = P(\text{gagner}) = \dfrac{1}{6}\).
  2. \(P(\text{au moins un 6}) = 1 - P(\text{aucun 6}) = 1 - \left(\dfrac{5}{6}\right)^4 = 1 - \dfrac{625}{1296} \approx 0{,}518\).
  3. On cherche \(n\) tel que \(1 - \left(\dfrac{5}{6}\right)^n \geqslant 0{,}99\), soit \(\left(\dfrac{5}{6}\right)^n \leqslant 0{,}01\).

    \(n\ln\left(\dfrac{5}{6}\right) \leqslant \ln(0{,}01)\), d'où \(n \geqslant \dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(5/6)} = \dfrac{-4{,}605}{-0{,}1823} \approx 25{,}3\).

    Il faut au minimum \(n = 26\) lancers.

  4. D'après la loi des grands nombres, \(F_n\) converge en probabilité vers \(p = \dfrac{1}{6}\).
Exo 4 Exercice Sesamath Terminale -- Conditionnement et indépendance
  1. On considère deux évènements \(R\) et \(S\) tels que \(P(R)=\dfrac{1}{4}\), \(P_R(S)=\dfrac{5}{6}\) et \(P_{\overline{R}}\left(\overline{S}\right)=\dfrac{11}{12}\).

    Construire un arbre pondéré avec ces évènements \(R\) et \(S\).

  2. Tao ne sait pas s'il lui reste de quoi préparer à manger dans son réfrigérateur.

    Il estime la probabilité que ce soit le cas à 0,8.

    • Dans ce cas (s'il a de quoi préparer à manger), il estime que la probabilité que le repas qu'il se préparera soit bon est de 0,65.
    • Sinon, il ira dans son restaurant favori dans lequel il estime que la probabilité que le repas servi soit bon est de 0,99.

    Construire un arbre pondéré représentant la situation après avoir explicité les notations des évènements apparaissant dans cet arbre.

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  1. ~~

    [arbre pondéré — non restitué]

  2. On considère les évènements :
    • \(R\) : « Tao a de quoi se préparer à manger dans son réfrigérateur »
    • \(B\) : « Le repas est bon »

    [arbre pondéré — non restitué]

Exo 5 Exercice 46 Sesamath Terminale -- Conditionnement et indépendance

Dans l'arbre ci-dessous, exprimer chacune des pondérations comme une probabilité (par exemple \(0,65=P_A\left(\overline{B}\right)\)).

[arbre pondéré — non restitué]

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    {2}
  • \(0,2=P(A)\)
  • \(0,8=P\left(\overline{A}\right)\)
  • \(0,35=P_A\left(B\right)\)
  • \(0,65=P_A\left(\overline{B}\right)\)
  • \(0,58=P_{\overline{A}}\left(B\right)\)
  • \(0,42=P_{\overline{A}}\left(\overline{B}\right)\)
Exo 6 Exercice 48 Sesamath Terminale -- Conditionnement et indépendance

Dans un immeuble, on donne la répartition des appartements suivant :

  • que ce soit un studio ou non ;
  • qu'il soit occupé par une seule personne ou bien par plusieurs personnes.
StudioPas studioTotal
Seule815
Plusieurs27
Total101222
  1. Déterminer les valeurs manquantes dans le tableau.
  2. Quand on choisit un appartement au hasard dans l'immeuble, on appelle \(S\) l'évènement « l'appartement est un studio » et \(PL\) l'évènement « l'appartement est occupé par plusieurs personnes ».
    1. Calculer \(P(S)\), \(P_{\overline{S}}(PL)\) et \(P_{PL}(S)\).
    2. Les évènements \(S\) et \(PL\) sont-ils indépendants ?

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  1. Par soustractions, on obtient :
    StudioPas studioTotal
    Seule8715
    Plusieurs257
    Total101222
      1. {2}
      • \(P(S)=\dfrac{10}{22}=\dfrac{5}{11}\)
      • \(P_{\overline{S}}(PL)=\dfrac{5}{12}\)
      • \(P_{PL}(S)=\dfrac{2}{7}\)
    2. \(P(S)\neq P_{PL}(S)\) donc \(S\) et \(PL\) ne sont pas indépendants.
Exo 7 Exercice 50 Sesamath Terminale -- Conditionnement et indépendance

On choisit une personne au hasard dans la population française et on considère :

  • O l'évènement « la personne est du groupe O », et on définit de même les évènements \(A\), \(B\) et \(AB\) ;
  • \(R+\) l'évènement « la personne a un rhésus positif » et on définit de même l'évènement \(R-\).
  1. Recopier et compléter :
    \(A\)\(B\)\(O\)\(AB\)
    \(R+\)39,15~%
    \(R-\)

  2. Décrire l'évènement \(AB\cup R-\) par une phrase et calculer sa probabilité.

    \columnbreak

  3. Trois personnes indépendantes se présentent à un don du sang. On considère que le don est un succès si cette personne est du groupe O. Représenter ce schéma de Bernoulli par un arbre pondéré.
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  1. On obtient :
    \(A\)\(B\)\(O\)\(AB\)
    \(R+\)39,15~%7,02~%36,98~%2,01~%
    \(R-\)5,85~%1,98~%6,02~%0,99~%
  2. L'évènement \(AB\cup R-\) est « la personne est du groupe AB ou a un rhésus négatif ».

    On a donc \(P(AB\cup R-)=\dfrac{2,01}{100}+\dfrac{0,99}{100} +\dfrac{5,85}{100}+\dfrac{1,98}{100}+\dfrac{6,02}{100}=0,1685\) d'après le tableau.

  3. ~~

    [arbre pondéré — non restitué]