Olympiades · Épreuve nationale · 19 mars 2025
1. En additionnant \(S=1+2+3\) à elle-même à l'envers, montrer \(2S=3\times4\) ; généraliser : \(1+2+\cdots+m=\dfrac{m(m+1)}2\).
2. En déduire \((n+1)+\cdots+(n+b)=\dfrac{b(2n+b+1)}2\).
Un entier \(n\ge2\) est
équilibré s'il existe \(b\ge1\) tel que \(1+2+\cdots+(n-1)=(n+1)+\cdots+(n+b)\) ; \(b\) est alors unique, appelé
balance de \(n\) (ex. 35 équilibré de balance 14).
3a. Montrer que 6 est équilibré (donner sa balance).
3b. Montrer que 7 ne l'est pas.
3c. Montrer que 204 est équilibré de balance 84.
4. Pour \(n\) équilibré de balance \(b\) :
a) montrer \(n^2-n=2bn+b^2+b\) puis \(8n^2+1=(2n+2b+1)^2\).
b) Réciproquement, si \(8n^2+1=e^2\) : montrer \(e\) impair et \(b=\dfrac{-(2n+1)+e}2\) entier strictement positif.
c) Conclure l'équivalence.
5. \(f(x)=3x+\sqrt{8x^2+1}\).
a) Vérifier \(8(f(x))^2+1=(8x+3\sqrt{8x^2+1})^2\).
b) En déduire : \(n\) équilibré \(\Rightarrow f(n)\) équilibré. Avec \(u_1=6\), \(u_{k+1}=f(u_k)\) :
c) montrer que \((u_k)\) est strictement croissante, composée de nombres équilibrés.
6. Écrire liste_equilibres(n) renvoyant \([u_1,\ldots,u_n]\).
1. \(S+S=(1+3)+(2+2)+(3+1)=3\times4\) (chaque paire alignée vaut \(m+1\)), technique de Gauss.
4a. Utiliser les formules des questions 1-2 pour traduire l'égalité définissant « équilibré » en une équation polynomiale en \(n\) et \(b\).
5c. Utiliser directement 5b par récurrence : \(u_1=6\) est équilibré (question 3a), donc \(u_2=f(u_1)\) l'est aussi, et ainsi de suite. Pour la stricte croissance, montrer que \(f(x)>x\) pour tout \(x>0\).
Correction officielle APMEP.
Identique à l'exercice 2. À la numérotation et à ceci près :