équilibré s'il existe \(b\ge1\) tel que \(1+2+\cdots+(n-1)=(n+1)+(n+2)+\cdots+(n+b)\) ; \(b\) est alors unique, appelé la
balance de \(n\) (ex. \(35\) est équilibré de balance \(14\)).
1a. Montrer que 6 est équilibré (donner sa balance).
1b. Montrer que 7 ne l'est pas.
1c. Montrer que 204 est équilibré de balance 84.
2. Pour \(n\) équilibré de balance \(b\) :
a) montrer \(n^2-n=2bn+b^2+b\), en déduire \(b=\dfrac{-(2n+1)+\sqrt{8n^2+1}}2\), puis que \(8n^2+1\) est un carré parfait.
b) Réciproquement, si \(8n^2+1=e^2\) : montrer \(e\) impair et \(b=\dfrac{-(2n+1)+e}2\) entier strictement positif.
c) Conclure : \(n\) équilibré \(\iff8n^2+1\) carré parfait.
3. \(f(x)=3x+\sqrt{8x^2+1}\).
a) Vérifier \(8(f(x))^2+1=(8x+3\sqrt{8x^2+1})^2\).
b) En déduire : \(n\) équilibré \(\Rightarrow f(n)\) équilibré. Avec \(u_1=6\), \(u_{k+1}=f(u_k)\) :
c) montrer que \((u_k)\) est strictement croissante, entièrement composée de nombres équilibrés.
d) Montrer \(u_{k-1}=3u_k-\sqrt{8u_k^2+1}\) pour \(k\ge2\). Avec \(g(x)=3x-\sqrt{8x^2+1}\), \(h(x)=3\sqrt x-\sqrt{8x+1}\) sur \(]0,+\infty[\) :
e) montrer \(h\) strictement croissante, en déduire \(g\) aussi.
Par l'absurde, on suppose qu'il existe un équilibré \(n\) hors de la suite \((u_k)\), le plus petit noté \(n\). f) Calculer \(u_2\) ; sachant que les seuls équilibrés \(<36\) sont 6 et 35, en déduire \(n>u_2\), puis qu'il existe \(m\ge2\) tel que \(u_m
4.
a) Montrer \(u_{k+1}=6u_k-u_{k-1}\) pour \(k\ge2\).
b) Que calcule mystere(n) (somme \(2+\cdots+(n-1)\)) ?
c) Écrire equilibre(n) testant si \(n\) est équilibré, en comparant les deux approches (4a vs 4b) en termes de rapidité.
5. Écrire liste_equilibres(n) renvoyant les entiers équilibrés \(
2a. Utiliser les deux formules rappelées en début d'exercice (\(1+\cdots+(n-1)\) et \((n+1)+\cdots+(n+b)\)) et égaler.
3f. Il s'agit d'un argument de « descente » classique : si \(n\) équilibré n'appartenait pas à la suite \((u_k)\), l'encadrement \(u_m
4a. Combiner \(u_{k+1}=f(u_k)=3u_k+\sqrt{8u_k^2+1}\) et \(u_{k-1}=3u_k-\sqrt{8u_k^2+1}\) (question 3d) : additionner pour éliminer la racine carrée.
4c. La récurrence linéaire (4a) évite tout calcul de racine carrée : plus rapide et plus stable numériquement que la définition directe (2c) qui nécessite de tester si \(8n^2+1\) est un carré parfait.
Correction officielle APMEP.
Quelques exemples.
[label=\alph*.]
\(1 + 2 + \cdots + 5 = 15\) et \(7 + 8 = 15\) donc 6 est équilibré de balance 2.
Si \(n\) est équilibré de balance \(b\), on a :
\[\frac{(n - 1)n}{2} = \frac{b(2n + b + 1)}{2}\]
donc
\[n^2 - n = 2bn + b^2 + b\]
On en déduit que
\[b^2 + (2n + 1)b + (n - n^2) = 0\]
donc \(b\) est solution d'une équation du second degré dont le discriminant est égal à \(8n^2 + 1\) qui est strictement positif. L'équation admet donc deux solutions :
\[\frac{-(2n + 1) + \sqrt{8n^2 + 1}}{2} \quad \text{et} \quad \frac{-(2n + 1) - \sqrt{8n^2 + 1}}{2}\]
Comme \(b\) est un entier strictement positif, on a nécessairement \(b = \dfrac{-(2n+1)+\sqrt{8n^2+1}}{2}\).
On en déduit que \(8n^2 + 1 = (2b + 2n + 1)^2\) donc \(8n^2 + 1\) est un carré parfait.
Comme \(e^2 = 8n^2 + 1\), \(e^2\) est impair, ce qui impose que \(e\) l'est aussi. On en déduit que \(b = \dfrac{e - (2n + 1)}{2}\) est un entier. Montrer que \(b > 0\) revient à établir que \(2n + 1 < \sqrt{8n^2 + 1}\), ce qui est aisé en comparant les carrés de ces deux nombres positifs (on rappelle que \(n > 1\)).
La question 2.a donne le sens direct tandis que la question 2.b fournit la réciproque : puisque \(b = \dfrac{-(2n+1)+\sqrt{8n^2+1}}{2}\) on a une solution de l'équation
\[x^2 + (2n + 1)x + (n - n^2) = 0\]
ce qui montre que
\[b^2 + (2n + 1)b + (n - n^2) = 0\]
On en déduit finalement que
\[1 + 2 + 3 + \cdots + (n - 1) = \frac{(n - 1)n}{2} = \frac{b(2n + b + 1)}{2} = (n + 1) + (n + 2) + \cdots + (n + b)\]
ce qui montre que \(n\) est un nombre équilibré de balance \(b\).
Soit \(n\) un nombre équilibré. D'après la question 2.a, \(f(n)\) est bien un entier. On remarque par ailleurs que, comme \(n \geq 2\), on a : \(f(n) \geq 2\). Enfin, d'après la question 3.a, \(8f(n)^2 + 1\) est un carré parfait. D'après la question 2.b, on conclut que \(f(n)\) est un nombre équilibré.
On sait que 6 est un nombre équilibré. Par ailleurs, pour tout entier naturel non nul \(k\), \(\dfrac{f(k)}{k} > 1\) donc \(f(k) > k\). On en déduit que les nombres
\[6, f(6), f(f(6)), f(f(f(6))), \ldots\]
sont des nombres équilibrés (question 3.b) deux à deux distincts classés dans l'ordre croissant, ce qui donne le résultat.
On sait que \(u_k = 3u_{k-1} + \sqrt{8u_{k-1}^2 + 1}\) donc \((u_k - 3u_{k-1})^2 = 8u_{k-1}^2 + 1\). On obtient, après simplifications : \(u_{k-1}^2 - 6u_k u_{k-1} + u_k^2 - 1 = 0\) donc \(u_{k-1}\) est solution d'une équation du second degré dont le discriminant est égal à \(4(8u_k^2 + 1)\) qui est strictement positif. L'équation donne donc deux solutions, qui sont
\[3u_k + \sqrt{8u_k^2 + 1} \quad \text{et} \quad 3u_k - \sqrt{8u_k^2 + 1}\]
Comme \(u_{k-1} < u_k\), on a donc nécessairement : \(u_{k-1} = 3u_k - \sqrt{8u_k^2 + 1}\).
On remarque que \(h\) est dérivable et que pour tout \(x > 0\)
\[h'(x) = \frac{3}{2\sqrt{x}} - \frac{4}{\sqrt{8x + 1}}\]
Or, \((3\sqrt{8x + 1})^2 = 9(8x + 1) = 72x + 9\), \((8\sqrt{x})^2 = 64x\) donc \(3\sqrt{8x + 1} - 8\sqrt{x} > 0\). Comme \(2\sqrt{x}\sqrt{8x + 1} > 0\), on en déduit que \(h'(x) > 0\). Ainsi \(h\) est strictement croissante. Pour tous réels \(x\) et \(y\) tels que \(0 < x < y\), on a : \(0 < x^2 < y^2\). Donc, comme \(h\) est strictement croissante, \(h(x^2) < h(y^2)\) donc \(g(x) < g(y)\). Ainsi \(g\) est strictement croissante.
\(u_2 = f(u_1) = f(6) = 35\). Puisque \(n\) est équilibré, on déduit du résultat admis par l'énoncé que si \(n \leq 35\), alors \(n = 6\) ou \(n = 35\). Or, \(u_1 = 6\) et \(u_2 = 35\) et \(n\) n'est pas de la forme \(u_k\). On en déduit que \(n > 35\), c'est-à-dire que \(n > u_2\). Puisque la suite d'entiers naturels \((u_k)_{k \geq 1}\) est strictement croissante, il existe un entier \(m \geq 2\) tel que \(u_m < n < u_{m+1}\).
On déduit de la croissance de \(g\) établie à la question 3.e que \(g(u_m) < g(n) < g(u_{m+1})\). Or, d'après la question 3.d, \(g(u_m) = u_{m-1}\) et \(g(u_{m+1}) = u_m\). D'où \(u_{m-1} < g(n) < u_m\). Comme \(u_m < n\), on a donc \(g(n) < u_m < n\) donc \(g(n) < n\).
D'après la question 3.b, \(n > 35\) donc \(n > 6\). Or, \(n\) est un nombre équilibré. On vérifie (comme on l'a fait avec \(f(n)\)) que \(g(n)\) l'est aussi. On en déduit que \(g(n)\) est un nombre équilibré qui ne s'écrit pas sous la forme \(u_k\) pour un certain entier \(k \geq 1\). Finalement \(n\) n'est pas le plus petit nombre équilibré ne s'écrivant pas sous forme \(u_k\) pour un certain entier \(k \geq 1\), ce qui est absurde par définition de \(n\). Ainsi, tout nombre équilibré est de la forme \(u_k\) pour un certain entier \(k \geq 1\).
[label=\alph*.]
Soit \(k \geq 2\) un entier. Alors \(u_{k+1} = 3u_k + \sqrt{8u_k^2 + 1}\) et, d'après la question 3.d, \(u_{k-1} = 3u_k - \sqrt{8u_k^2 + 1}\). Donc \(u_{k+1} = 3u_k + (3u_k - u_{k-1}) = 6u_k - u_{k-1}\).
Dans \(s\), on calcule \(s = 1 + \ldots + i\) jusqu'à ce que \(i\) arrive à \(n\) (exclu). La fonction \texttt{mystere(n)} calcule donc la somme \(1 + 2 + 3 + \ldots + (n - 1)\).
On déduit de la question 4.b la fonction suivante.
\begin{verbatim}
def equilibre(n):
k = mystere(n) # k vaut 1+2+...+(n-1)
s = n+1
i = n+2
while s < k:
s = s + i
i = i + 1
return s == k
\end{verbatim}
Dans \(s\), on calcule \(s = (n+1) + \ldots + i\) jusqu'à ce que cette somme dépasse le seuil \(k\). On regarde alors si la balance est équilibrée.
Mais on peut aussi écrire la fonction suivante, de complexité bien meilleure, en exploitant la question 4.a.
\begin{verbatim}
def equilibre(n):
(a, b) = (6, 35)
while a < n:
(a, b) = (b, 6*b - a)
return a == n
\end{verbatim}
On propose ici aussi deux solutions, la seconde étant plus efficace que la première.
La première fonction utilise la question 4.c.
\begin{verbatim}
def liste_equilibres(n):
l = []
for i in range(2, n):
if equilibre(i):
l.append(i)
return l
\end{verbatim}
La seconde fonction exploite encore la question 4.a.
\begin{verbatim}
def liste_equilibres(n):
l = []
(a, b) = (6, 35)
while a < n:
l.append(a)
(a, b) = (b, 6*b - a)
return l
\end{verbatim}