Exercice académique 3 — Dans le vent (séries technologiques)

1. Si le centre est le milieu des deux diagonales, celles-ci se coupent en leur milieu : c'est un losange (diagonales perpendiculaires se coupant en leur milieu).

2. L'aire d'un quadrilatère à diagonales perpendiculaires vaut toujours \(\frac12\times d_1\times d_2\), indépendamment du point d'intersection (décomposer en 4 triangles rectangles).

3. Chaque côté est l'hypoténuse d'un triangle rectangle en \(O\) (diagonales perpendiculaires) : \(AB^2=OA^2+OB^2=x^2+y^2\), et de même pour les trois autres côtés avec \(OC=1-x\), \(OD=1-y\).

5. C'est la méthode classique de « dépliage » (réflexion) pour minimiser un trajet brisé : \(DA'+A'B\) est la longueur du plus court chemin de \(D\) à \(B\) en passant par un point de \(d_1\), obtenue par symétrie de \(B\) (ligne droite \(D\)-\(B_1\)), donc toujours \(\le DA+AB\) (inégalité triangulaire).

9-10. Itérer le procédé de rectification finit par transformer la voile en un carré (cas d'égalité de l'inégalité triangulaire, atteint quand les points s'alignent) : chercher le périmètre de ce carré limite, cohérent avec le minimum de \(S\) trouvé en partie 2 (aire fixe \(=\frac12\), périmètre minimal atteint pour la configuration la plus symétrique).

Correction officielle APMEP.

Première partie

1. Si le centre de la voile est le milieu des diagonales, alors la voile est un parallélogramme. De plus, avec des diagonales perpendiculaires, c'est un losange. Comme elles sont de même longueur (égale à 1), c'est un carré.

   On peut calculer le côté du carré en utilisant le théorème de Pythagore dans un triangle rectangle isocèle de côtés \(\frac12\) : \[ c^2 = \left(\frac12\right)^2 + \left(\frac12\right)^2 = \frac12 \quad \text{donc} \quad c = \frac{\sqrt{2}}{2}. \] On a alors : \[ \text{Périmètre} = 4 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}, \qquad \text{Aire} = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac12. \]

2. Toute voile peut être inscrite dans un carré de côté 1 dont les côtés sont parallèles aux diagonales de la voile. Les quatre triangles formant la voile sont alors dupliqués dans le carré, donc : \[ A_{\text{voile}} = \frac12 \times 1 = \frac12. \] Toutes les voiles ont donc la même aire \(\frac12\).

   Deuxième partie

3. On a \(x = OA\), \(y = OB\), \(OC = 1-x\), \(OD = 1-y\). \\ En appliquant le théorème de Pythagore dans les triangles rectangles \(AOB\), \(BOC\), \(COD\) et \(DOA\), on obtient : \[ AB^2 = x^2 + y^2, \quad BC^2 = y^2 + (1-x)^2, \quad CD^2 = (1-x)^2 + (1-y)^2, \quad DA^2 = (1-y)^2 + x^2. \] D'où : \[ S = 2x^2 + 2y^2 + 2(1-x)^2 + 2(1-y)^2. \] Développons : \[\begin{aligned} S &= 2x^2 + 2y^2 + 2(1 - 2x + x^2) + 2(1 - 2y + y^2) \\ &= 4x^2 + 4y^2 - 4x - 4y + 4. \end{aligned}\] D'autre part : \[\begin{aligned} 4\left(x-\frac12\right)^2 + 4\left(y-\frac12\right)^2 + 2 &= 4\left(x^2 - x + \frac14\right) + 4\left(y^2 - y + \frac14\right) + 2 \\ &= 4x^2 - 4x + 1 + 4y^2 - 4y + 1 + 2 \\ &= 4x^2 + 4y^2 - 4x - 4y + 4. \end{aligned}\] Ainsi, \(S = 4\left( x - \frac{1}{2} \right)^2 + 4\left( y - \frac{1}{2} \right)^2 + 2\).
4. Les termes \(\left(x-\frac12\right)^2\) et \(\left(y-\frac12\right)^2\) étant positifs, \(S\) est minimale lorsqu'ils sont nuls, c'est-à-dire lorsque \(x = y = \frac12\). \\ Alors \(S_{\min} = 2\). \\ Dans ce cas, \(O\) est le milieu des diagonales, donc la voile est un carré (cf. question 1).

   Troisième partie

5. Par construction, \(d_1\) est la médiatrice de \([BB_1]\), donc \(AB = AB_1\) et \(A'B = A'B_1\). \\ Dans le triangle \(DAB_1\), l'inégalité triangulaire donne : \[ DA + AB_1 \geqslant DB_1. \] Or \(DB_1 = DA' + A'B_1 = DA' + A'B\). \\ Ainsi, \(DA + AB \geqslant DA' + A'B\). \\ De même, en considérant le triangle \(DCB_2\), on obtient \(DC + CB \geqslant DC' + C'B\). \\ En ajoutant ces deux inégalités, on obtient : \[ P = DA + AB + DC + CB \geqslant DA' + A'B + DC' + C'B = P_{A'BC'D}. \]
6. \(d_1\) est médiatrice de \([BB_1]\), donc \(A'\), intersection de \(d_1\) et \([DB_1]\), est le milieu de \([DB_1]\). Ainsi \(DA' = A'B_1 = A'B\). \\ De même, \(d_2\) est médiatrice de \([BB_2]\), donc \(C'\) est le milieu de \([DB_2]\) et \(DC' = C'B_2 = C'B\). \\ Par conséquent, \((A'C')\) est la médiatrice de \([DB]\), donc \((A'C') \perp (DB)\) et \(O'\), intersection de \((A'C')\) et \((DB)\), est le milieu de \([DB]\). \\ De plus, \((A'C')\) est parallèle à \((AC)\) (toutes deux perpendiculaires à \((DB)\)), et la distance entre \(d_1\) et \(d_2\) est égale à \(AC = 1\), donc \(A'C' = 1\). \\ Ainsi, \(A'BC'D\) est un quadrilatère non croisé dont les diagonales \((A'C')\) et \((DB)\) sont perpendiculaires et de longueur \(1\) : c'est une voile, de centre \(O'\).
7. Les quadrilatères \(AA'O'O\) et \(CC'O'O\) sont des rectangles (car \((AA') \parallel (OO') \parallel (CC')\) et \((A'O') \parallel (AO)\), \((C'O') \parallel (CO)\)). \\ Donc \(OA = O'A'\) et \(OC = O'C'\). Ainsi : \[ \frac{O'A'}{O'C'} = \frac{OA}{OC}. \]
8. Figure : le quadrilatère \(A'B'C'D'\) s'obtient en appliquant la construction précédente à la voile \(A'BC'D\), en prenant cette fois les parallèles à \((A'C')\) passant par \(B\) et \(D\).
9. En appliquant le raisonnement de la question 6 à la voile \(A'BC'D\), on obtient que \(A'B'C'D'\) est une voile dont le centre \(O''\) est le milieu de \([A'C']\) et aussi le milieu de \([B'D']\) (car la construction est symétrique). \\ Donc \(O''\) est le milieu des deux diagonales : \(A'B'C'D'\) est un carré (voir question 1).
10. D'après la question 5 appliquée deux fois : \[ P_{ABCD} \geqslant P_{A'BC'D} \geqslant P_{A'B'C'D'}. \] Or \(A'B'C'D'\) est un carré de diagonales de longueur \(1\), donc son côté est \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) et son périmètre vaut \(2\sqrt{2}\). \\ Ainsi, la valeur minimale du périmètre \(P\) est \(2\sqrt{2}\), atteinte lorsque \(ABCD\) est un carré.