Exercice académique 2 — Coupure parfaite d'un triangle (spécialité maths)

4-5. Aire\((MBN)=\frac12 mn\sin\widehat B\), Aire\((ABC)=\frac12 ac\sin\widehat B\) (avec \(a=BC\), \(c=AB\) adjacents à \(\widehat B\)). La condition « même aire » (chaque partie = moitié de l'aire totale) donne directement \(mn=\frac{ac}2\) ; la condition « même périmètre » donne (après simplification) \(m+n=\frac{a+b+c}2\).

6. \(m,n\) sont les deux racines de \(X^2-(m+n)X+mn=X^2-20X+68=0\).

9. Généraliser directement le raisonnement de la question 5 : \(mn=\frac{ac}2\), \(m+n=\frac{a+b+c}2\) donnent, par somme et produit des racines, l'équation du second degré demandée (à un facteur 2 près pour éliminer les fractions).

10-11. Il faut que les racines \(m,n\) de \(f\) soient réelles et vérifient \(0\le m\le a\), \(0\le n\le c\) pour que la coupure soit géométriquement valide. Étudier le signe de \(f\) aux bornes \(0\), \(a\) et \(c\) permet, via le théorème des valeurs intermédiaires, de localiser les racines dans les intervalles voulus (cela utilise l'hypothèse \(a

Correction officielle APMEP.

Première Partie : Questions préliminaires

[label=\arabic*), leftmargin=*]
1. Dans chacun des cas suivants, déterminer si le segment \([MN]\) est une coupure parfaite du triangle \(ABC\) :
   1. Cas 1 :

      Le triangle \(ABC\) est rectangle en \(C\). D'après le théorème de Pythagore : \[\begin{aligned} &BC^2 = AB^2 - AC^2 = 5^2 - 4^2 = 9 \\ &\text{On a donc } BC = 3\ \text{unités}. \end{aligned}\]

      Les périmètres ne sont pas égaux puisque : \[\begin{aligned} &P_{ANC} = 4 + 2.5 + MN \quad \text{et } P_{BCN} = 3 + 2.5 + MN \\ &\text{La coupure proposée n'est pas parfaite.} \end{aligned}\]

   2. Cas 2 :

      Les rapports \(\dfrac{BN}{BA}\) et \(\dfrac{BM}{BC}\) sont égaux à \(\dfrac{4}{5}\). Les points \(B, N, A\) et \(B, M, C\) sont alignés dans le même ordre, d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites \((NM)\) et \((AC)\) sont parallèles.

      L'aire du triangle \(BNM\) mesure donc \(\left(\dfrac{4}{5}\right)^2=\dfrac{16}{25}\) de l'aire du triangle \(ABC\). Cette aire n'est donc pas égale à l'aire du quadrilatère \(ANMC\) qui représente lui le reste soit \(\dfrac{9}{25}\) de l'aire du triangle \(ABC\).

      La coupure proposée n'est pas parfaite.

2. Supposons que le triangle \(ABC\) soit isocèle en \(A\). On peut prendre \(M = A\) et \(N\) milieu du segment \([BC]\) ainsi \([AN]\) est aussi la hauteur issue de \(A\).

   Par symétrie, les deux triangles \(ABN\) et \(ACN\) ainsi obtenus ont même aire et même périmètre.

   Le segment \([MN]\) est donc une coupure parfaite. Tout triangle isocèle possède au moins une coupure parfaite.

   Deuxième partie : Un triangle particulier

   Pour les questions 3) à 6), on prend \(a = BC = 8\), \(b = AC = 15\), \(c = AB = 17\).

3. Vérifions l'égalité de Pythagore : \[ 15^2 + 8^2 = 225 + 64 = 289 = 17^2 \] L'égalité de Pythagore est vérifiée, donc le triangle \(ABC\) est rectangle en \(C\).
4. Dans le triangle \(MBN\), la hauteur issue de \(M\) sur \([BN]\) est perpendiculaire à \((BN)\) et donc parallèle à \((AC)\). Soit \(h\) sa longueur. Par le théorème de Thalès dans les triangles semblables \(BMN\) et \(BAC\), on a : \[ \frac{h}{b} = \frac{n}{c} \quad \text{soit} \quad h = \frac{b n}{c} = \frac{15n}{17} \]

   L'aire du triangle \(MBN\) est donc : \[ \mathcal{A}_{MBN} = \frac{1}{2} \times m \times h = \frac{1}{2} \times m \times \frac{15n}{17} = \frac{15mn}{34} \]

5. Si \([MN]\) est une coupure parfaite, alors : \(P_{MBN} = P_{ANMC}\)

   Soit : \[ m + n + MN = (17 - n) + MN + (8 - m) + 15 \] \[ m + n = 40 - m - n \] \[ 2m + 2n = 40 \] \[ m + n = 20 \]

   {Égalité des aires :} \[ \mathcal{A}_{MBN} = \frac{1}{2} \mathcal{A}_{ABC} \] L'aire du triangle \(ABC\) (rectangle en \(C\)) est : \[ \mathcal{A}_{ABC} = \frac{1}{2} \times 8 \times 15 = 60 \] Donc : \[ \frac{15mn}{34} = \frac{60}{2} = 30 \] \[ 15mn = 30 \times 34 = 1020 \] \[ mn = \frac{1020}{15} = 68 \]

6. On a le système : \[ \begin{cases} m + n = 20 \\ mn = 68 \end{cases} \] De \(m + n = 20\), on tire \(m = 20 - n\). En substituant dans la deuxième équation : \[ (20 - n)n = 68 \] \[ 20n - n^2 = 68 \] \[ n^2 - 20n + 68 = 0 \]

   Le discriminant de cette équation est : \[ \Delta = (-20)^2 - 4 \times 1 \times 68 = 400 - 272 = 128>0 \] \[ \sqrt{\Delta} = \sqrt{128} = 8\sqrt{2} \]

   Les solutions sont : \[ n_1 = \frac{20 + 8\sqrt{2}}{2} = 10 + 4\sqrt{2} \quad \text{et} \quad n_2 = \frac{20 - 8\sqrt{2}}{2} = 10 - 4\sqrt{2} \] Les valeurs correspondantes de \(m\) sont : \[ m_1 = 20 - n_1 = 10 - 4\sqrt{2} \quad \text{et} \quad m_2 = 20 - n_2 = 10 + 4\sqrt{2} \]

   Puisque \(M\) appartient à \([BC]\) avec \(BC = 8\), on doit avoir \(m \leqslant 8\). Seul \(m_1 = 10 - 4\sqrt{2} \approx 4.34\) vérifie cette condition.

   Le seul couple possible est donc : \[ (m, n) = (10 - 4\sqrt{2}, 10 + 4\sqrt{2}) \]

7. Pour cette question, on prend \(a = 15\), \(b = 8\), \(c = 17\). Le triangle est toujours rectangle en \(C\) (car \(8^2 + 15^2 = 17^2\)), mais maintenant \(a=15\), \(b=8\).

   En refaisant le même raisonnement, on obtient : \[ m + n = 20 \quad \text{(même calcul pour les périmètres)} \] \[ \mathcal{A}_{MBN} = \frac{8mn}{34} \quad \text{et} \quad \mathcal{A}_{ABC} = \frac{1}{2} \times 15 \times 8 = 60 \] Pour une coupure parfaite : \[ \frac{8mn}{34} = 30 \quad \Rightarrow \quad mn = \frac{30 \times 34}{8} = \frac{1020}{8} = 127.5 \]

   Le système devient : \[ \begin{cases} m + n = 20 \\ mn = 127,5 \end{cases} \] L'équation du second degré est : \[ n^2 - 20n + 127,5 = 0 \] Son discriminant est : \[ \Delta = 400 - 4 \times 127,5 = 400 - 510 = -110 < 0 \] Le discriminant étant négatif, il n'y a pas de solution réelle. Il n'existe donc pas de coupure parfaite dans cette configuration.

   Troisième partie : Cas général

   Dans cette partie, on suppose que le triangle \(ABC\) est tel que : \(0 < a < b < c\), avec \(a = BC\), \(b = AC\), \(c = AB\).

8. Dans le triangle \(BNM\), la longueur de la hauteur issue de \(N\) est \(h = NH\)\\ Par trigonométrie dans le triangle \(BHN\) rectangle en \(H\), on a \(h = n \times \sin(\widehat{ABC})\) et donc l'aire du triangle \(BNM\) :

   \hfil\(A_{BNM} = \dfrac{nm \sin(\widehat{ABC})}{2}\)

9. Si \([MN]\) est une coupure parfaite :
   [label=(\alph*)]
   1. {Égalité des périmètres :} \[ m + n + MN = (c - n) + MN + (a - m) + b \] \[ m + n = c - n + a - m + b \] \[ 2m + 2n = a + b + c \] \[ m + n = \frac{a + b + c}{2} \]
   2. {Égalité des aires :} l'aire du triangle \(MBN\) est : \[ \mathcal{A}_{MBN} = \frac{1}{2} \times m \times n \times \sin\widehat{ABC} \] Et elle doit être égale à la moitié de l'aire de \(ABC\) qui vaut \[ \mathcal{A}_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times BC \times \sin(\widehat{ABC}) = \frac{ac\sin \widehat{ABC}}{2} \] En supposant \(\sin\widehat{ABC} \neq 0\) (triangle non dégénéré) on obtient : \[ mn = \frac{ac}{2} \]

      Des équations \(m + n = \dfrac{a+b+c}{2}\) et \(mn = \dfrac{ac}{2}\), on déduit que \(m\) et \(n\) sont solutions de : \[ x^2 - \left(\frac{a+b+c}{2}\right)x + \frac{ac}{2} = 0 \] En multipliant par 2 : \[ 2x^2 - (a+b+c)x + ac = 0 \]

10. Calculons : \[\begin{aligned} f(0) &= 2\times 0^2 - (a+b+c)\times 0 + ac = ac > 0 \quad (\text{car } a>0, c>0)\\ f(a) &= 2a^2 - (a+b+c)a + ac = 2a^2 - a^2 - ab - ac + ac = a^2 - ab = a(a-b)< 0\ (\text{car } a>0 \text{ et } a < b)\\ f(c) &= 2c^2 - (a+b+c)c + ac = 2c^2 - ac - bc - c^2 + ac = c^2 - bc = c(c-b)> 0 \ (\text{car } c>0 \text{ et } c > b) \end{aligned}\]

11. La fonction \(f\) est une fonction polynôme du second degré, donc continue sur \(\mathbb{R}\).

    On a montré que : \(f(0) > 0\), \(f(a) < 0\) et \(f(c) > 0\)

    D'après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué deux fois :

    1. Sur \([0, a]\) : \(f(0) > 0\) et \(f(a) < 0\), donc \(f\) s'annule en un point \(x_1 \in ]0, a[\).
    2. Sur \([a, c]\) : \(f(a) < 0\) et \(f(c) > 0\), donc \(f\) s'annule en un point \(x_2 \in ]a, c[\).

    Ces deux racines \(x_1\) et \(x_2\) sont les valeurs possibles pour \(m\) et \(n\). Puisque \(x_1 \in ]0, a[\), c'est une valeur admissible pour \(m\) (car \(m \in [0, a]\)). Puisque \(x_2 \in ]a, c[\), c'est une valeur admissible pour \(n\) (car \(n \in [0, c]\)).

    Ces valeurs vérifient \(m + n = \dfrac{a+b+c}{2}\) et \(mn = \dfrac{ac}{2}\), donc définissent une coupure parfaite.

    Ainsi, tout triangle \(ABC\) admet au moins une coupure parfaite.