Exercice national 3 — Pyramides de Pascal (séries technologiques)

1. Additionner la somme à l'endroit et à l'envers (\(1+2+\cdots+n\) et \(n+(n-1)+\cdots+1\)) : chaque paire de termes alignés vaut \(n+1\), et il y a \(n\) paires.

3. Une pyramide à \(n\) lignes a 1 nombre en haut, 2 sur la ligne suivante, ..., \(n\) en bas : le total est \(1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}2\) (question 1).

4. Chaque nombre d'une ligne (sauf la dernière) est une différence de deux nombres de la ligne du dessous, donc strictement inférieur ou égal au plus grand des deux : par récurrence, aucun nombre situé au-dessus de la dernière ligne ne peut dépasser le plus grand nombre de la dernière ligne. Le nombre total d'entiers étant donné par la question 3, le plus grand entier de la pyramide parfaite est nécessairement ce total.

6a. La symétrie miroir gauche-droite de toute pyramide de Pascal en est encore une (la différence est symétrique), et transforme « en bas tout à droite » en « en bas tout à gauche ».

6b. Comme un nombre au-dessus est la différence de ses deux voisins du dessous, il est toujours strictement inférieur au plus grand des deux (aucune valeur n'est nulle dans une pyramide parfaite) : le chemin décrit est donc strictement croissant en descendant.

1. Pourquoi \(1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}2\) ?

On considère la somme \(S = 1 + 2 + \cdots + n\). On peut l'écrire dans l'ordre inverse :

\[S = n + (n-1) + \cdots + 1.\]

En additionnant terme à terme les deux expressions, on obtient :

\[2S = (1+n) + (2+(n-1)) + \cdots + (n+1).\]

Chaque paire vaut \(n+1\), et il y a \(n\) paires. Donc :

\[2S = n(n+1) \quad \Rightarrow \quad S = \frac{n(n+1)}{2}.\]

2a. Construire la pyramide à 4 lignes de dernière ligne \(4,3,9,7\)

La règle : chaque nombre (sauf en dernière ligne) est la distance (valeur absolue de la différence) entre les deux nombres juste en dessous.

• Ligne 4 (dernière ligne) : \(4, 3, 9, 7\)

• Ligne 3 : on calcule les différences absolues entre nombres consécutifs de la ligne 4 :

\[|4-3| = 1,\quad |3-9| = 6,\quad |9-7| = 2\]

Donc ligne 3 : \(1, 6, 2\)

• Ligne 2 : différences absolues entre nombres de la ligne 3 :

\[|1-6| = 5,\quad |6-2| = 4\]

Donc ligne 2 : \(5, 4\)

• Ligne 1 (sommet) : différence absolue entre les deux nombres de la ligne 2 :

\[|5-4| = 1\]

Donc ligne 1 : \(1\)

La pyramide complète (de haut en bas) est :

\[\begin{array}{ccccccc}

& & & 1 & & & \\

& & 5 & & 4 & & \\

& 1 & & 6 & & 2 & \\

4 & & 3 & & 9 & & 7

\end{array}\]

2b. Pyramide à 3 lignes n'utilisant que 1, 2, 3

On cherche une pyramide à 3 lignes (donc dernière ligne de 3 nombres, ligne du milieu de 2 nombres, sommet de 1 nombre) telle que tous les nombres utilisés soient parmi \(\{1,2,3\}\).

Notons la dernière ligne \(a, b, c\) (avec \(a,b,c \in \{1,2,3\}\)). Alors :

• Ligne du milieu : \(|a-b|\) et \(|b-c|\)

• Sommet : \(||a-b| - |b-c||\)

On veut que tous ces nombres soient dans \(\{1,2,3\}\). Essayons par exemple \(a=1, b=2, c=3\) :

• \(|1-2| = 1\), \(|2-3| = 1\) → ligne du milieu : \(1,1\)

• Sommet : \(|1-1| = 0\) → 0 n'est pas autorisé.

Essayons \(a=3, b=1, c=2\) :

• \(|3-1| = 2\), \(|1-2| = 1\) → ligne du milieu : \(2,1\)

• Sommet : \(|2-1| = 1\) → tous les nombres sont dans \(\{1,2,3\}\).

Donc une solution possible : dernière ligne \(3,1,2\) donne la pyramide :

\[\begin{array}{ccccc}

& & 1 & & \\

& 2 & & 1 & \\

3 & & 1 & & 2

\end{array}\]

(On vérifie : \(3,1,2\) → \(2,1\) → \(1\).)

3. Nombre total d'entiers dans une pyramide à \(n\) lignes

Une pyramide à \(n\) lignes a :

• Ligne 1 (sommet) : 1 nombre

• Ligne 2 : 2 nombres

• ...

• Ligne \(n\) (dernière) : \(n\) nombres

Le nombre total d'entiers est donc la somme des entiers de 1 à \(n\) :

\[T_n = 1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}.\]

• Pour \(n=3\) : \(T_3 = \frac{3 \times 4}{2} = 6\)

• Pour \(n=4\) : \(T_4 = \frac{4 \times 5}{2} = 10\)

• Pour \(n\) quelconque (\(n \ge 2\)) : \(T_n = \frac{n(n+1)}{2}\).

4. Pyramide parfaite à \(n\) lignes : plus grand entier sur la dernière ligne

Une pyramide parfaite à \(n\) lignes contient chaque entier de 1 à \(T_n = \frac{n(n+1)}{2}\) exactement une fois. Le plus grand entier est donc \(T_n\).

Montrons qu'il doit se trouver sur la dernière ligne.

Supposons par l'absurde que le plus grand entier \(M = T_n\) ne soit pas sur la dernière ligne. Alors il est sur une ligne \(k\) avec \(1 \le k \le n-1\). Par construction, chaque nombre (sauf en dernière ligne) est la différence absolue de deux nombres situés juste en dessous. Donc si \(M\) est sur la ligne \(k\), il existe deux nombres \(x\) et \(y\) sur la ligne \(k+1\) tels que \(M = |x - y|\). Comme \(M\) est le plus grand entier de toute la pyramide, on a \(x \le M\) et \(y \le M\). Mais alors \(|x - y| \le \max(x,y) \le M\). Pour que \(|x - y| = M\), il faut nécessairement que l'un des deux soit égal à \(M\) et l'autre à 0. Or 0 n'apparaît jamais dans une pyramide parfaite (les entiers vont de 1 à \(M\)). Contradiction.

Donc \(M\) ne peut pas être sur une ligne autre que la dernière. Il est donc sur la dernière ligne.

Le plus grand entier est \(T_n = \frac{n(n+1)}{2}\).

5. Pyramide parfaite à 3 lignes avec 6 en bas au milieu.

Dernière ligne \((1,6,4)\) : ligne du milieu \(|1-6|=5\), \(|6-4|=2\), soit \((5,2)\) ; sommet \(|5-2|=3\). La pyramide \(3\,/\,5\;2\,/\,1\;6\;4\) utilise bien chacun des entiers de 1 à 6 exactement une fois, avec 6 en bas au milieu.

6. Le nombre \(n(n+1)/2\) ne peut être en bas à un coin (pour \(n\ge4\)).

a) La pyramide symétrique (image miroir gauche-droite de la pyramide de départ) est encore une pyramide de Pascal parfaite valide, car la distance \(|x-y|\) ne dépend pas de l'ordre de \(x,y\) : elle échange « en bas tout à droite » et « en bas tout à gauche ». Il suffit donc d'exclure le cas « en bas tout à droite », le cas symétrique s'en déduisant.

b) Un nombre situé au-dessus de deux nombres \(x,y\) vaut \(|x-y|\), qui est strictement inférieur à \(\max(x,y)\) dès que \(\min(x,y)>0\) — ce qui est toujours le cas ici puisqu'une pyramide parfaite ne contient jamais de 0. Le chemin qui, à chaque étage, se dirige vers le plus grand des deux nombres du dessous est donc strictement croissant en descendant. Supposons \(M=n(n+1)/2\) (le plus grand entier de toute la pyramide, d'après la question 4) situé en bas tout à droite. En remontant depuis le bas-droite, le nombre juste au-dessus (sur le bord droit) vaut \(|w-M|=M-w\) où \(w\) est son autre voisin du dessous (nécessairement \(

c) En retirant de la pyramide l'élément le plus à droite de chaque ligne (c'est-à-dire tout le bord droit, la ligne du chemin de la question précédente), ce qui reste est exactement la pyramide de Pascal de \(n-1\) lignes construite à partir des \(n-1\) premiers (les plus à gauche) nombres de la dernière ligne — car la valeur en une position ne dépend que des deux positions juste en dessous, donc ignorer la colonne la plus à droite à chaque étage ne perturbe aucun des calculs restants. En itérant ce retrait (une seconde fois), la pyramide de \(n-2\) lignes bâtie sur les \(n-2\) nombres les plus à gauche de la dernière ligne est elle-même intégralement contenue, comme sous-pyramide cohérente, dans la pyramide de départ.