Exercice académique 2 — Disque pincé (spécialité maths)

1-3. L'aire d'un disque de circonférence \(c\) vaut \(\dfrac{c^2}{4\pi}\) (car \(r=c/2\pi\), aire \(=\pi r^2\)) : \(Q\) est donc simplement la somme des carrés des circonférences des morceaux (le disque initial ayant \(c=1\)).

6-7. \(Q=x^2+(1-x)^2\) est une fonction du second degré en \(x\) : étudier ses variations sur \(]0,\frac12]\) pour trouver son minimum et vérifier si les valeurs \(\frac34\), \(\frac13\) sont atteintes.

9-10. L'identité remarquable donnée en question 9 exprime \(Q-\frac13\) comme une somme/produit de termes ; minimiser \(Q\) revient à annuler chacun de ces termes simultanément.

16-17. \(\sum\left(x_i-\frac1{n+1}\right)^2=\sum x_i^2-\dfrac2{n+1}\sum x_i+\dfrac{n+1}{(n+1)^2}=Q-\dfrac1{n+1}\) (en utilisant \(\sum x_i=1\)) : cette somme de carrés est toujours \(\ge0\), avec égalité ssi tous les \(x_i\) sont égaux à \(\dfrac1{n+1}\), ce qui donne directement le minimum de \(Q\).

1. Montrer que l'aire du disque initial vaut \(\frac1{4\pi}\).

Le disque initial a une circonférence \(C = 1\). La formule de la circonférence d'un disque de rayon \(R\) est \(C = 2\pi R\). On a donc :

\[2\pi R = 1 \quad\Rightarrow\quad R = \frac{1}{2\pi}.\]

L'aire du disque initial est \(A_{\text{init}} = \pi R^2\). En substituant \(R\) :

\[A_{\text{init}} = \pi \left(\frac{1}{2\pi}\right)^2 = \pi \times \frac{1}{4\pi^2} = \frac{1}{4\pi}.\]

2. Calculer \(Q\) pour deux disques dont un de circonférence \(\frac13\).

On a deux disques. Leurs circonférences sont \(x\) et \(y\), avec \(x+y=1\) (la ficelle est non extensible). On donne \(x = \frac13\). Alors \(y = 1 - \frac13 = \frac23\).

L'aire d'un disque de circonférence \(c\) est \(A(c) = \pi \left(\frac{c}{2\pi}\right)^2 = \frac{c^2}{4\pi}\). L'aire totale pincée est la somme des aires des deux disques :

\[A_{\text{pincée}} = \frac{x^2}{4\pi} + \frac{y^2}{4\pi} = \frac{x^2+y^2}{4\pi}.\]

Le rapport \(Q\) est :

\[Q = \frac{A_{\text{pincée}}}{A_{\text{init}}} = \frac{\frac{x^2+y^2}{4\pi}}{\frac{1}{4\pi}} = x^2 + y^2.\]

Avec \(x=\frac13\), \(y=\frac23\) :

\[Q = \left(\frac13\right)^2 + \left(\frac23\right)^2 = \frac19 + \frac49 = \frac59.\]

3. Calculer \(Q\) pour trois disques de circonférences \(\frac1{10}\), \(\frac12\) et le reste.

On a trois disques. Leurs circonférences sont \(x\), \(y\), \(z\) avec \(x+y+z=1\). On donne \(x = \frac1{10}\), \(y = \frac12\). Alors :

\[z = 1 - \frac1{10} - \frac12 = 1 - 0,1 - 0,5 = 0,4 = \frac{2}{5}.\]

Pour \(n\) disques, l'aire totale pincée est \(\sum \frac{c_i^2}{4\pi}\), donc \(Q = \sum c_i^2\) (car \(A_{\text{init}} = \frac{1}{4\pi}\)). Ici :

\[Q = \left(\frac1{10}\right)^2 + \left(\frac12\right)^2 + \left(\frac{2}{5}\right)^2 = \frac1{100} + \frac14 + \frac{4}{25}.\]

Mettons tout sur 100 : \(\frac14 = \frac{25}{100}\), \(\frac{4}{25} = \frac{16}{100}\). Donc :

\[Q = \frac{1 + 25 + 16}{100} = \frac{42}{100} = \frac{21}{50}.\]

4. Bornes de \(x\).

On a une pince, donc deux disques de circonférences \(x\) et \(y\) avec \(x+y=1\), \(0 < x \le y\). La condition \(x \le y\) donne \(x \le 1-x\), soit \(2x \le 1\), donc \(x \le \frac12\). De plus \(x>0\). Donc :

\[0 < x \le \frac12.\]

5. Montrer \(Q = x^2 + (1-x)^2\).

Avec deux disques, \(y = 1-x\). D'après la question 2, \(Q = x^2 + y^2\). Donc :

\[Q = x^2 + (1-x)^2.\]

6. Peut-on obtenir une aire pincée valant \(\frac34\) de l'initiale ? \(\frac13\) ? \(\ge 1\) ?

On a \(Q(x) = x^2 + (1-x)^2 = 2x^2 - 2x + 1\), pour \(0 < x \le \frac12\).

• Pour \(Q = \frac34\) : résolvons \(2x^2 - 2x + 1 = \frac34\).

\[2x^2 - 2x + \frac14 = 0 \quad\Rightarrow\quad 8x^2 - 8x + 1 = 0.\]

Discriminant : \(\Delta = 64 - 32 = 32\). Racines : \(x = \frac{8 \pm \sqrt{32}}{16} = \frac{8 \pm 4\sqrt{2}}{16} = \frac{2 \pm \sqrt{2}}{4}\).

\(\frac{2 - \sqrt{2}}{4} \approx \frac{2-1,414}{4} = 0,1465\) (dans \(]0, \frac12]\)). \(\frac{2 + \sqrt{2}}{4} \approx 0,8535 > \frac12\), exclu. Donc oui, pour \(x = \frac{2-\sqrt{2}}{4}\).

• Pour \(Q = \frac13\) : résolvons \(2x^2 - 2x + 1 = \frac13\).

\[2x^2 - 2x + \frac23 = 0 \quad\Rightarrow\quad 6x^2 - 6x + 2 = 0 \quad\Rightarrow\quad 3x^2 - 3x + 1 = 0.\]

Discriminant : \(\Delta = 9 - 12 = -3 < 0\). Pas de solution réelle. Donc impossible.

• Pour \(Q \ge 1\) : \(2x^2 - 2x + 1 \ge 1\) équivaut à \(2x^2 - 2x \ge 0\), soit \(2x(x-1) \ge 0\). Pour \(0 < x \le \frac12\), \(x-1 < 0\), donc le produit est négatif ou nul (nul seulement si \(x=0\), exclu). Donc \(Q < 1\). Impossible d'avoir \(Q \ge 1\).

7. Valeur(s) de \(x\) minimisant \(Q\).

\(Q(x) = 2x^2 - 2x + 1\) est une parabole convexe (coefficient \(2>0\)). Son minimum est atteint en \(x = \frac{-b}{2a} = \frac{2}{4} = \frac12\). Cette valeur est dans l'intervalle \(]0, \frac12]\) (borne incluse). Donc le minimum est pour \(x = \frac12\), et alors \(y = \frac12\). La valeur minimale de \(Q\) est :

\[Q_{\min} = \left(\frac12\right)^2 + \left(\frac12\right)^2 = \frac14 + \frac14 = \frac12.\]

8. Montrer \(z \ge \frac13\) et \(x \le \frac13\).

On a trois disques avec \(x+y+z=1\) et \(x \le y \le z\). Puisque \(z\) est le plus grand, on a \(z \ge \frac13\) (sinon, si \(z < \frac13\), alors \(x \le y \le z < \frac13\), et la somme serait \(< 1\), contradiction). De même, \(x\) est le plus petit, donc \(x \le \frac13\) (sinon, si \(x > \frac13\), alors \(y \ge x > \frac13\) et \(z \ge y > \frac13\), somme \(>1\), contradiction).

9. Montrer \(Q = 2x^2+2y^2+2xy-2x-2y+1\) et \(Q-\frac13 = 2\left[(y-\frac13)^2+(\frac13-x)(z-\frac13)\right]\).

Pour trois disques, \(Q = x^2 + y^2 + z^2\) avec \(z = 1 - x - y\). Donc :

\[Q = x^2 + y^2 + (1 - x - y)^2 = x^2 + y^2 + 1 + x^2 + y^2 - 2x - 2y + 2xy = 2x^2 + 2y^2 + 2xy - 2x - 2y + 1.\]

Pour la deuxième expression, calculons \(Q - \frac13\) :

\[Q - \frac13 = 2x^2 + 2y^2 + 2xy - 2x - 2y + 1 - \frac13 = 2x^2 + 2y^2 + 2xy - 2x - 2y + \frac23.\]

Factorisons \(2\) :

\[Q - \frac13 = 2\left( x^2 + y^2 + xy - x - y + \frac13 \right).\]

On veut montrer que cela vaut \(2\left[(y-\frac13)^2 + (\frac13 - x)(z - \frac13)\right]\). Développons le membre de droite :

\[(y-\frac13)^2 = y^2 - \frac23 y + \frac19.\]

\[(\frac13 - x)(z - \frac13) = (\frac13 - x)(1 - x - y - \frac13) = (\frac13 - x)(\frac23 - x - y).\]

Développons :

\[= \frac13 \cdot \frac23 - \frac13 x - \frac13 y - x\cdot\frac23 + x^2 + xy = \frac29 - \frac13 x - \frac13 y - \frac23 x + x^2 + xy = \frac29 - x - \frac13 y + x^2 + xy.\]

Somme des deux :

\[(y-\frac13)^2 + (\frac13 - x)(z - \frac13) = y^2 - \frac23 y + \frac19 + \frac29 - x - \frac13 y + x^2 + xy = x^2 + y^2 + xy - x - y + \frac13.\]

Multiplié par 2, on retrouve bien \(Q - \frac13\). Donc l'égalité est vérifiée.

10. Valeurs minimisant \(Q\).

On a \(Q - \frac13 = 2\left[(y-\frac13)^2 + (\frac13 - x)(z - \frac13)\right]\). Puisque \(x \le \frac13\) et \(z \ge \frac13\), on a \((\frac13 - x) \ge 0\) et \((z - \frac13) \ge 0\), donc le produit est \(\ge 0\). De plus \((y-\frac13)^2 \ge 0\). Donc \(Q - \frac13 \ge 0\), soit \(Q \ge \frac13\). Le minimum est atteint quand les deux termes sont nuls :

\[y - \frac13 = 0 \quad\text{et}\quad (\frac13 - x)(z - \frac13) = 0.\]

La première donne \(y = \frac13\). La seconde donne soit \(x = \frac13\), soit \(z = \frac13\). Mais si \(x = \frac13\), alors \(x = y = \frac13\), et \(z = 1 - \frac13 - \frac13 = \frac13\). Si \(z = \frac13\), alors \(x + y = \frac23\) et \(y = \frac13\) donne \(x = \frac13\). Dans les deux cas, on obtient \(x = y = z = \frac13\). Donc le minimum est atteint pour trois disques de même circonférence \(\frac13\), et \(Q_{\min} = \frac13\).

11. Développer \((x+y+z)^2\).

\[(x+y+z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + zx).\]

12. L'aire pincée peut-elle dépasser l'initiale ?

On a \(Q = x^2 + y^2 + z^2\). Puisque \(x+y+z=1\), par l'inégalité de Cauchy-Schwarz ou par convexité, on a \(x^2+y^2+z^2 \ge \frac13\) (minimum atteint pour \(x=y=z=\frac13\)). De plus, le maximum est atteint quand un des termes est le plus grand possible, soit \(z\) proche de 1 et \(x,y\) proches de 0. Alors \(Q \approx 1^2 + 0 + 0 = 1\). Mais \(Q\) ne peut pas dépasser 1 car \(x^2 \le x\) pour \(0\le x\le 1\) (car \(x^2 - x = x(x-1) \le 0\)), donc \(x^2+y^2+z^2 \le x+y+z = 1\). L'égalité n'est atteinte que si un seul disque (pas de pince), ce qui est exclu car on a au moins deux disques. Donc \(Q < 1\). L'aire pincée ne peut pas dépasser l'initiale.

13. Circonférence du dernier disque.

On a \(n+1\) disques. Les \(n\) premiers ont pour circonférences \(\left(\frac12\right)^k\) pour \(k=1,\ldots,n\). La somme des \(n\) premiers est :

\[S_n = \sum_{k=1}^n \left(\frac12\right)^k = \frac12 \cdot \frac{1 - (1/2)^n}{1 - 1/2} = 1 - \left(\frac12\right)^n.\]

La somme totale des circonférences est 1, donc la circonférence du dernier disque est :

\[x_{n+1} = 1 - S_n = 1 - \left[1 - \left(\frac12\right)^n\right] = \left(\frac12\right)^n.\]

14. Montrer \(Q > \frac13\).

\(Q = \sum_{i=1}^{n+1} x_i^2\). Les \(x_i\) sont positifs et de somme 1. Par l'inégalité de Cauchy-Schwarz, on a \(\sum x_i^2 \ge \frac{1}{n+1}\). Ici, les \(n\) premiers sont \(\frac12, \frac14, \ldots, \frac{1}{2^n}\) et le dernier est \(\frac{1}{2^n}\). Ils ne sont pas tous égaux (sauf si \(n=0\), mais \(n\ge 1\)), donc l'inégalité est stricte : \(\sum x_i^2 > \frac{1}{n+1}\). Mais on veut \(Q > \frac13\). Ce n'est pas immédiat. Calculons explicitement \(Q\) :

\[Q = \sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{2^k}\right)^2 + \left(\frac{1}{2^n}\right)^2 = \sum_{k=1}^n \frac{1}{4^k} + \frac{1}{4^n}.\]

La somme géométrique : \(\sum_{k=1}^n \frac{1}{4^k} = \frac14 \cdot \frac{1 - (1/4)^n}{1 - 1/4} = \frac14 \cdot \frac{1 - 4^{-n}}{3/4} = \frac13 (1 - 4^{-n})\). Donc :

\[Q = \frac13 (1 - 4^{-n}) + 4^{-n} = \frac13 - \frac13 4^{-n} + 4^{-n} = \frac13 + \frac23 4^{-n}.\]

Puisque \(4^{-n} > 0\) pour tout \(n\), on a \(Q > \frac13\).

15. Algorithme donnant le plus petit \(n\) tel que \(Q - \frac13 < 10^{-6}\).

D'après la question précédente, \(Q - \frac13 = \frac23 \cdot 4^{-n}\). On cherche \(n\) tel que :

\[\frac23 \cdot 4^{-n} < 10^{-6} \quad\Rightarrow\quad 4^{-n} < \frac32 \times 10^{-6} = 1,5 \times 10^{-6}.\]

Soit \(4^n > \frac{1}{1,5 \times 10^{-6}} = \frac{2}{3} \times 10^6 \approx 666666,67\). En prenant le logarithme : \(n \ln 4 > \ln(666666,67)\), soit \(n > \frac{\ln(666666,67)}{\ln 4}\). Calculons : \(\ln 4 \approx 1,38629\), \(\ln(666666,67) \approx \ln(6,6666667 \times 10^5) = \ln 6,6666667 + 5\ln 10 \approx 1,89712 + 11,51293 = 13,41005\). Donc \(n > 13,41005 / 1,38629 \approx 9,67\). Le plus petit entier \(n\) est 10.

Algorithme Python :

```python

import math

n = 1

while True:

Q_minus_1_3 = (2/3) * (4**(-n))

if Q_minus_1_3 < 1e-6:

print(n)

break

n += 1

```

Sortie : 10.

16. Développer \(\sum_{i=1}^{n+1}\left(x_i-\frac1{n+1}\right)^2\) en fonction de \(Q\).

On a :

\[\sum_{i=1}^{n+1} \left(x_i - \frac{1}{n+1}\right)^2 = \sum_{i=1}^{n+1} \left( x_i^2 - \frac{2}{n+1} x_i + \frac{1}{(n+1)^2} \right).\]

Séparons :

\[= \sum x_i^2 - \frac{2}{n+1} \sum x_i + (n+1) \cdot \frac{1}{(n+1)^2} = Q - \frac{2}{n+1} \cdot 1 + \frac{1}{n+1} = Q - \frac{1}{n+1}.\]

Donc :

\[\sum_{i=1}^{n+1} \left(x_i - \frac{1}{n+1}\right)^2 = Q - \frac{1}{n+1}.\]

17. En déduire les valeurs minimisant \(Q\).

La somme de carrés \(\sum (x_i - \frac{1}{n+1})^2\) est toujours \(\ge 0\), et nulle si et seulement si tous les \(x_i\) sont égaux à \(\frac{1}{n+1}\). Donc \(Q - \frac{1}{n+1} \ge 0\), soit \(Q \ge \frac{1}{n+1}\). Le minimum de \(Q\) est \(\frac{1}{n+1}\), atteint quand tous les disques ont la même circonférence \(\frac{1}{n+1}\).