Exercice académique 3 — Les triplets d'Eisenstein (séries technologiques)

Voir l'exercice 2 (série S) pour les questions 1 à 8, identiques.

9. Utiliser la relation \(c^2=a^2-ab+b^2\) avec \(b=119\), \(c=109\) : c'est une équation du second degré en \(a\) (\(a^2-119a+(119^2-109^2)=0\)), à résoudre via son discriminant.

10. Le triplet \((a,119,109)\) trouvé à la question 9 a \(b=119\) ; multiplier chacune de ses composantes par le facteur nécessaire pour amener \(b\) à 2023 (utiliser la décomposition de 2023 de la question 7), et vérifier que la relation (1) reste vérifiée après multiplication (elle l'est toujours : voir la question 6 pour le facteur 2, généralisable à tout entier).

9. Déterminer \(a\) tel que \((a,119,109)\) soit un triplet d'Eisenstein (détailler la démarche).

Un triplet d'Eisenstein \((a,b,c)\) vérifie la relation :

\[c^2 = a^2 - a b + b^2.\]

Ici, on a \(b = 119\) et \(c = 109\). On cherche \(a\) entier naturel non nul tel que :

\[109^2 = a^2 - a \times 119 + 119^2.\]

Calculons les carrés :

\[109^2 = 11881, \quad 119^2 = 14161.\]

L'équation devient :

\[11881 = a^2 - 119a + 14161.\]

On isole les termes en \(a\) :

\[a^2 - 119a + 14161 - 11881 = 0,\]

soit :

\[a^2 - 119a + 2280 = 0.\]

C'est une équation du second degré en \(a\). Calculons le discriminant \(\Delta\) :

\[\Delta = (-119)^2 - 4 \times 1 \times 2280 = 14161 - 9120 = 5041.\]

On cherche la racine carrée de 5041. On vérifie que \(71^2 = 5041\) (car \(70^2=4900\), \(71^2=5041\)). Donc \(\sqrt{5041} = 71\).

Les solutions sont :

\[a = \frac{119 \pm 71}{2}.\]

Soit :

\[a_1 = \frac{119 + 71}{2} = \frac{190}{2} = 95, \quad a_2 = \frac{119 - 71}{2} = \frac{48}{2} = 24.\]

Les deux valeurs sont des entiers naturels non nuls. On vérifie qu'elles satisfont bien la relation :

• Pour \(a=95\) : \(95^2 - 95 \times 119 + 119^2 = 9025 - 11305 + 14161 = 11881 = 109^2\).

• Pour \(a=24\) : \(24^2 - 24 \times 119 + 119^2 = 576 - 2856 + 14161 = 11881 = 109^2\).

Donc les deux valeurs possibles sont \(a = 24\) et \(a = 95\).

Réponse : \(a = 24\) ou \(a = 95\).

10. En déduire un triplet d'Eisenstein \((a,b,c)\) avec \(b=2023\).

On cherche un triplet \((a,b,c)\) tel que \(b = 2023\). On peut utiliser les transformations données dans l'énoncé (questions précédentes) : à partir d'un triplet d'Eisenstein \((a,b,c)\), on peut en obtenir d'autres par :

• \((b-a, b, c)\) (si \(b > a\)),

• \((2a, 2b, 2c)\).

On part du triplet trouvé à la question 9 : \((a, 119, 109)\) avec \(a = 24\) ou \(a = 95\). On veut obtenir \(b = 2023\). Remarquons que \(2023\) est un multiple de \(119\) ? Non, \(2023 \div 119 \approx 17\), mais vérifions : \(119 \times 17 = 2023\) exactement (car \(119 \times 17 = 119 \times 10 + 119 \times 7 = 1190 + 833 = 2023\)). Donc \(2023 = 119 \times 17\).

On peut donc appliquer la transformation de multiplication par un facteur entier \(k\) (qui est une généralisation de la transformation \((2a,2b,2c)\)) : si \((a,b,c)\) est un triplet d'Eisenstein, alors \((ka, kb, kc)\) l'est aussi, car :

\[(ka)^2 - (ka)(kb) + (kb)^2 = k^2(a^2 - ab + b^2) = k^2 c^2 = (kc)^2.\]

Ici, on prend \(k = 17\). À partir du triplet \((24, 119, 109)\), on obtient :

\[(17 \times 24, \; 17 \times 119, \; 17 \times 109) = (408, \; 2023, \; 1853).\]

Vérifions : \(408^2 - 408 \times 2023 + 2023^2\) doit être égal à \(1853^2\). Calculons rapidement :

• \(408^2 = 166464\),

• \(408 \times 2023 = 408 \times 2000 + 408 \times 23 = 816000 + 9384 = 825384\),

• \(2023^2 = (2000+23)^2 = 4\,000\,000 + 2 \times 2000 \times 23 + 529 = 4\,000\,000 + 92\,000 + 529 = 4\,092\,529\),

• Somme : \(166464 - 825384 + 4\,092\,529 = (166464 + 4\,092\,529) - 825384 = 4\,258\,993 - 825\,384 = 3\,433\,609\),

• \(1853^2 = (1800+53)^2 = 3\,240\,000 + 2 \times 1800 \times 53 + 2809 = 3\,240\,000 + 190\,800 + 2\,809 = 3\,433\,609\). C'est correct.

On peut aussi utiliser l'autre triplet \((95, 119, 109)\) :

\[(17 \times 95, \; 17 \times 119, \; 17 \times 109) = (1615, \; 2023, \; 1853).\]

Vérification : \(1615^2 - 1615 \times 2023 + 2023^2\) doit aussi donner \(1853^2\). On peut le vérifier, mais c'est garanti par la propriété.

Donc on a deux triplets possibles avec \(b=2023\) : \((408, 2023, 1853)\) et \((1615, 2023, 1853)\).

Réponse : Un triplet d'Eisenstein avec \(b=2023\) est \((408, 2023, 1853)\) (ou \((1615, 2023, 1853)\)).