Exercice académique 2 — Les triplets d'Eisenstein (spécialité maths)

1. Pythagore dans les deux triangles rectangles \(BHC\) et \(BHA\) partageant la hauteur \(BH\) : exprimer \(BH^2\) des deux façons.

4. Même méthode que la question 1, en généralisant : Al-Kashi dans le triangle \(ABC\) avec l'angle de \(60°\) donne directement \(c^2=a^2+b^2-2ab\cos(60°)=a^2-ab+b^2\).

7. \(2023=7\times17^2\).

8. Chercher un triplet Eisenstein « de base » à partir des diviseurs de 2023 (par exemple en fixant \(a=2023\) ou \(c=2023\) et en résolvant \(c^2=a^2-ab+b^2\) comme une équation du second degré en \(b\)).

9. Factoriser \((m+2n)^2-n^2=(m+n)(m+3n)=119=7\times17\) : chercher les couples \((m+n,m+3n)\) parmi les décompositions de 119 en produit de deux facteurs, avec \(m+3n>m+n\).

10. Une fois \((m,n)\) trouvé à la question 9, la formule admise donne un premier triplet de valeur \(b\) donnée (ici liée à 119, à multiplier par le facteur adéquat pour atteindre 2023) ; combiner avec la transformation de la question 5 (\((b-a,b,c)\)) pour obtenir un second triplet distinct de même \(b\).

1. Montrer \(13^2-(15-x)^2=8^2-x^2\) ; en déduire \(x\) puis l'angle \(\widehat{ACB}\) en degrés.

Dans le triangle \(ABC\), \(H\) est le pied de la hauteur issue de \(B\) sur \((AC)\). On a donc \(BH \perp AC\). On pose \(CH = x\). Comme \(AC = 15\), on a \(AH = 15 - x\).

Dans le triangle rectangle \(BHC\) (rectangle en \(H\)), le théorème de Pythagore donne :

\[BC^2 = BH^2 + CH^2 \quad \Rightarrow \quad 8^2 = BH^2 + x^2.\]

Dans le triangle rectangle \(BHA\) (rectangle en \(H\)), on a :

\[AB^2 = BH^2 + AH^2 \quad \Rightarrow \quad 13^2 = BH^2 + (15 - x)^2.\]

En soustrayant la première équation de la seconde, on élimine \(BH^2\) :

\[13^2 - 8^2 = (15 - x)^2 - x^2.\]

Soit :

\[13^2 - (15 - x)^2 = 8^2 - x^2.\]

Calculons les carrés : \(13^2 = 169\), \(8^2 = 64\). L'équation devient :

\[169 - (15 - x)^2 = 64 - x^2.\]

Développons \((15 - x)^2 = 225 - 30x + x^2\). Alors :

\[169 - (225 - 30x + x^2) = 64 - x^2,\]

\[169 - 225 + 30x - x^2 = 64 - x^2,\]

\[-56 + 30x - x^2 = 64 - x^2.\]

Ajoutons \(x^2\) des deux côtés :

\[-56 + 30x = 64.\]

Donc \(30x = 64 + 56 = 120\), d'où \(x = \frac{120}{30} = 4\).

Ainsi \(CH = 4\). Dans le triangle rectangle \(BHC\), on a :

\[\cos(\widehat{ACB}) = \frac{CH}{BC} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}.\]

Donc \(\widehat{ACB} = \arccos(1/2) = 60^\circ\).

Réponse : \(x = 4\), \(\widehat{ACB} = 60^\circ\).

2. Montrer que \((7,15,13)\) est un triplet d'Eisenstein.

Un triplet d'Eisenstein \((a,b,c)\) vérifie \(a < b < c\) et les côtés d'un triangle dont l'angle opposé au côté \(c\) vaut \(60^\circ\) ou \(120^\circ\). Ici, on a \(a=7\), \(b=15\), \(c=13\). Vérifions l'inégalité triangulaire : \(7+15=22 > 13\), \(7+13=20 > 15\), \(15+13=28 > 7\). Donc c'est un triangle.

Pour un triangle de côtés \(a,b,c\) avec un angle de \(60^\circ\) opposé à \(c\), la loi des cosinus donne :

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(60^\circ) = a^2 + b^2 - ab.\]

Vérifions : \(a^2 + b^2 - ab = 7^2 + 15^2 - 7 \times 15 = 49 + 225 - 105 = 169 = 13^2 = c^2\). Donc l'angle opposé à \(c\) vaut \(60^\circ\). Ainsi \((7,15,13)\) est un triplet d'Eisenstein.

3. De même pour \((5,8,7)\) et \((3,8,7)\).

• Pour \((5,8,7)\) : \(a=5\), \(b=8\), \(c=7\). Vérifions \(c^2 = a^2 + b^2 - ab\) : \(5^2+8^2-5\times8 = 25+64-40 = 49 = 7^2\). Donc c'est un triplet d'Eisenstein (angle de \(60^\circ\) opposé à \(c\)).

• Pour \((3,8,7)\) : \(a=3\), \(b=8\), \(c=7\). Vérifions : \(3^2+8^2-3\times8 = 9+64-24 = 49 = 7^2\). Donc c'est aussi un triplet d'Eisenstein.

4. Démontrer que tout triplet d'Eisenstein vérifie \(c^2 = a^2 - ab + b^2\) (1) (réciproque admise).

Par définition, un triplet d'Eisenstein \((a,b,c)\) (avec \(a

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(60^\circ).\]

Comme \(\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}\), on a :

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \times \frac{1}{2} = a^2 + b^2 - ab.\]

Donc tout triplet d'Eisenstein vérifie \(c^2 = a^2 - ab + b^2\).

5. Si \((a,b,c)\) est Eisenstein, montrer que \((b-a,b,c)\) l'est aussi.

Soit \((a,b,c)\) un triplet d'Eisenstein, donc \(a0\). Il faut aussi \(b-a < c\) ? On vérifiera après. Calculons :

\[(b-a)^2 - (b-a)b + b^2 = (b^2 - 2ab + a^2) - (b^2 - ab) + b^2 = b^2 - 2ab + a^2 - b^2 + ab + b^2 = a^2 - ab + b^2 = c^2.\]

Donc \((b-a)^2 - (b-a)b + b^2 = c^2\), ce qui est exactement la relation (1) pour le triplet \((b-a, b, c)\). De plus, comme \(a 0\). Il faut aussi vérifier que \(b-a < b\) (vrai) et que \(b-a < c\) (car \(c^2 = a^2 - ab + b^2 > (b-a)^2\) ? On peut montrer que \(c > b-a\) car \(c^2 - (b-a)^2 = a^2 - ab + b^2 - (b^2 - 2ab + a^2) = ab > 0\)). Donc \((b-a,b,c)\) est bien un triplet d'Eisenstein.

6. Montrer que \((2a,2b,2c)\) l'est aussi ; en déduire une infinité de triplets d'Eisenstein.

Si \((a,b,c)\) est Eisenstein, alors \(c^2 = a^2 - ab + b^2\). Multiplions par 4 :

\[(2c)^2 = 4c^2 = 4a^2 - 4ab + 4b^2 = (2a)^2 - (2a)(2b) + (2b)^2.\]

Donc \((2a,2b,2c)\) vérifie la relation (1). De plus, \(2a < 2b < 2c\) car \(a

En répétant ce processus, on obtient une infinité de triplets : \((2^k a, 2^k b, 2^k c)\) pour tout entier \(k \ge 0\).

7. Décomposer 2023 en facteurs premiers.

\(2023\) est impair. Testons les petits nombres premiers :

• \(2023 \div 7 = 289\) (car \(7 \times 289 = 2023\)).

• \(289 = 17^2\) (car \(17 \times 17 = 289\)).

Donc \(2023 = 7 \times 17^2\).

8. En déduire un triplet avec \(a=2023\), puis un avec \(c=2023\).

• Pour \(a=2023\) : on cherche \(b>2023\) et \(c\) tels que \(c^2 = 2023^2 - 2023b + b^2\). Une idée est d'utiliser la multiplication par un facteur. Par exemple, à partir du triplet \((7,15,13)\) (question 2), on a \(a=7\). Multiplions par \(289\) (car \(2023 = 7 \times 289\)) : \((7\times289, 15\times289, 13\times289) = (2023, 4335, 3757)\). Vérifions : \(2023^2 - 2023\times4335 + 4335^2 = 289^2(7^2 - 7\times15 + 15^2) = 289^2 \times 169 = (289\times13)^2 = 3757^2\). Donc \((2023, 4335, 3757)\) est un triplet d'Eisenstein.

• Pour \(c=2023\) : on cherche \(a

9. Trouver \(m,n\) tels que \((m+2n)^2 - n^2 = 119\).

On a \((m+2n)^2 - n^2 = (m+2n - n)(m+2n + n) = (m+n)(m+3n) = 119\). Les diviseurs de 119 sont 1, 7, 17, 119. On cherche des entiers naturels non nuls \(m,n\) tels que \(m+n\) et \(m+3n\) soient des diviseurs positifs de 119 avec \(m+n < m+3n\). On résout les systèmes :

• \(m+n = 7\) et \(m+3n = 17\). En soustrayant : \((m+3n) - (m+n) = 2n = 10\) donc \(n=5\), puis \(m = 7-5 = 2\).

• \(m+n = 1\) et \(m+3n = 119\) donne \(2n=118\) donc \(n=59\), \(m=1-59=-58\) (non naturel).

• \(m+n = 17\) et \(m+3n = 7\) impossible car \(17 > 7\).

• \(m+n = 119\) et \(m+3n = 1\) impossible.

Donc la seule solution avec \(m,n\) entiers naturels non nuls est \(m=2\), \(n=5\).

10. En déduire deux triplets d'Eisenstein avec \(b=2023\).

Avec \(m=2,n=5\) (question 9), la formule admise donne le triplet \((a,b,c)=(3\times25+2\times2\times5,\ 3\times25+4\times2\times5+4,\ 3\times25+3\times2\times5+4)=(95,119,109)\) — on vérifie \(109^2=95^2-95\times119+119^2\) (\(11881=9025-11305+14161\)). Sa composante \(b=119\) et \(2023=17\times119\) (car \(2023=7\times17^2\) et \(119=7\times17\)), donc \(17\) est un facteur entier exact.

Comme la relation \(c^2=a^2-ab+b^2\) est homogène de degré 2, multiplier tout le triplet par un même entier \(k\) préserve la propriété d'Eisenstein (c'est la généralisation directe du doublement de la question 6, valable pour n'importe quel \(k\) entier, pas seulement \(k=2\)) : \((ka)^2-(ka)(kb)+(kb)^2=k^2(a^2-ab+b^2)=k^2c^2=(kc)^2\). En prenant \(k=17\) :

\[(95\times17,\ 119\times17,\ 109\times17)=(1615,\ 2023,\ 1853)\]

est un premier triplet d'Eisenstein de composante \(b=2023\) (vérifié : \(1853^2=1615^2-1615\times2023+2023^2\)).

Pour un second triplet de même \(b\), on applique la transformation de la question 5, \((a,b,c)\mapsto(b-a,b,c)\), qui préserve \(b\) et \(c\) : à partir de \((1615,2023,1853)\), on obtient

\[(2023-1615,\ 2023,\ 1853)=(408,\ 2023,\ 1853),\]

qui est également un triplet d'Eisenstein (vérifié : \(1853^2=408^2-408\times2023+2023^2\)), distinct du premier et de même \(b=2023\).